Šta je novo?
Član
Učlanjen(a)
13.09.2010
Poruka
100
Zadano je
a= 3 cm
s=5 cm

Povrsina pravilne trostrane piramide je

P=B+M

B je povrsina baze piramide M=[(a^2)*(3)^(1/2)]/2
M je omotac sastoji se od 3 podudarna trougla
P_1=ah/2
M=3P_1=3ah/2

Povrsina piramide je

P={[(a^2)*(3)^(1/2)]/2} +3ah/2

h^2=s^2-(a/2)^2

H^2=h^2-{[(a^2)*(3)^(1/2)]/6}^2

Zapremina piramide je V=B*H=={[(a^2)*(3)^(1/2)]/2}*H
 
Poslednja izmena:
Član
Učlanjen(a)
13.09.2010
Poruka
100
VEDSKA MATEMATIKA

Vedska matematika je drevni indijski matematicki sistem, odnosno tehnika racunanja osnovana na jedinstvenim pravilima. Pomocu ovih pravila mozemo napamet rijesiti svaki matematicki problem:

1. aritmeticki
2. algebarski
3. geometrijski
4. trigonometrijski

kod ucenika ona potice razvoj i
upotrebu intuicije i kreativnosti te
ucenicima nudi mnostvo fleksibilnosti,
zabave i zadovoljstva.

Na veoma lak i brz nacin mozemo itzracunati proizvod dva trocifrena broja. Ovo zvuci kao carolija ali nije.

Vedska matematika potice iz Veda, staroindijskih tekstova napisanih 1500. – 900. g.pne, a otkrio ju je Sri Bharati Krsna Tirthaji (1884.-1960.). Prema njegovim istrazivanjima cijela matematika je utemeljena na 16 pravila ili sutri (pravilo = sutra) te 13 pod-pravila ili sub-sutri koja rjesavaju svaki matematicki problem kako iz aritmetike tako i iz algebre, geometrije i trigonometrije napamet!
Sutre su jednostavne formule opisane s nekoliko rijeci, lagane za razumjeti, primijeniti i zapamtiti. Shri Bharati kaze da ta pravila pokazuju put kojim se um prirodno krece. Svoja istrazivanja sacuvao je u knjizi Vedic Mathematics or sixteen simple mathematical formulae from Vedas. Iako je ta knjiga trebala biti samo uvod u matematiku, nazalost, samo je nju stigao napisati.

TABLICA MNOZENJA

Prije mnozenja potrebno je objasniti pojam baze i komplementa nekog broja.
Najbolje je krenuti s primjerom:

Komplement broja 8 (u bazi 10) je broj 2 (jer je 8+2=10),
komplement broja 92 je broj 8 (jer je 92+8=100),
komplement broja 971 je broj 29 (jer je 971+29=1000), itd.

Dakle baza je broj koji se nalazi blizu zadanog broja (10, 100, 1000,… ali moze biti i 50, 40, 30, 20,… 500, … sve po potrebi, a kakvoj … najbolje je vidjeti na primjeru).
Komplement od baze 10, 100, 1000, 10000… racuna se vrlo jednostavno po jednoj od 16 sutri ili pravila:
˝svi do 9, zadnji do 10˝. (rijec je o ciframa)
Kako savladati tablicu mnozenja preko 5x5 uz pomoc prstiju?

Primjeri:

1. Koliko je 6x8!

Na jednoj ruci prikazimo broj 6 kao 5+1, jedan prst je dignut, a cetiri spustena.
Na drugoj ruci prikazimo broj 8 (5+3) s tri dignuta prsta a dva spustena.
Dignute prste s obe ruke saberimo (1+3=4) i dobivamo prvu cifru (4), a spustene prste pomnozimo (4x2=8) te tako dobivamo i drugu cifru (8).

6x8=48

Pogledajmo i primjer gdje cemo mnozenjem spustenih prstiju dobiti broj veci od 9, sto onda uciniti? Naravno, postoji sutra i za taj slucaj:
˝ako je jedan visak dopuni onog prije˝.

2. Koliko je 6x7

Na jednoj ruci prikazimo 6, (5+1), s jednim uzdignutim i 4 spustena prsta, a na drugoj ruci broj 7, (5+2), s dva podignuta i s 3 spustena prsta. Podignute prste saberimo (1+2=3), a spustene pomnozimo (4x3=12). Druga cifra ce sada biti 2, a 1 dodajemo prvoj cifri koja sada postaje broj 4.
1+2=3 (3+1=4)
4x3=12
tj 6x7=42

Isto se moze izracunati napamet, bez pomoci prstiju.

3. Koliko je 6x8
Baza je 10.
Razmisljamo na sljedeci nacin: imam 6, a do 10 mi treba 4;
imam 8, a do 10 mi treba 2.

Rezultat opet dijelimo na dva dijela. Potrebno je na neki nacin pokusati vizualizirati sljedecu tablicu. U prvom stupcu se nalaze faktori koje mnozimo, a u drugom stupcu komplementi zadanih brojeva (u ovom slucaju u bazi 10). Minusi se pisu zato sto je faktor koji se mnozi manji od baze.
Prvi dio odgovora (lijevi dio) izracunavamo tako da dijagonalno izracunamo
6-2=4 ili 8-4=4, a
drugi dio (desni) tako da pomnozimo brojeve u 2. stupcu, (-4)(-2)=8
tj 6x8=48

MNOZENJE BROJEVA KOJI SU BLIZU 10, 100, 1000, 10000, 100000

4.Treba naci proizvod brojeva 96 i 92, ovdje je baza 100.
100-96=-4
100-92=-8
Prvi dio rjesenja dobivamo sabiranjem 96-8=88 ili 92-4=88, a drugi dio mnozenjem faktora -4 i -8 tj 8-4)(-8)=32.
96x92=8832

5. Koliko je 86x89

100-86=-14
100-89=-11
Racunamo u bazi 100 pa je jedna cifra viska u drugom dijelu
86-11=75
89-14=75
(-14)(-11)=154 (1^54)
75+1=76
Tj 86x89=7654

6. 998x997

1000-998=-2
1000-997=-3
997-2=995
(-2)(-3)=6
Drugi dio je 006 jer je baza 1000.
Tj
998x997=995006

7. 14x7
10-14=4
17-100=7
14+7=21
4X7=28 (2^8 baza 10)

14x7=228

8. (jedan faktor veci, a jedan manji od baze) 106x88
100-106=6
100-98=-2
106-2=104
6X(2)=-12

Jedan faktor je veci, a jedan manji od baze, proizvod faktora u drugom stupcu je negativan broj te se u tom slucaju za drugi dio odgovora uzima pozitivan komplement dobivenog proizvoda. Baza je 100.
100-12=88
104(-12) je Viculum broj (sadrzi pozitivan i negativan dio), a pretvara se u obican tako da negativnom dijelu nadjemo komplement, a onaj ispred njega smanjimo za 1 (10400-12=10388)

9. Izracunaj 56x52

U ovom slucaju najbolje je za bazu uzeti broj 50. Imajmo na umu da je 100:2=50, pa cemo prvi dio rjesenja podijeliti s 2.
Odnosno
56+2=58
58:2=29
6x2=12
Tj

56x52= 2912

10. Koliko je 43x47

U ovom primjeru za bazu mozemo uzeti broj 40, ali isto tako baza bi mogla biti i broj 50.
Imajmo na umu da je 40=10x4
43=40+3
47=40+7
43+7=50
50x4
3x7=21(21)
184+2=186
Tj.
47x73=1861
U drugom dijelu je jedna cifra zbog baze 40 (40x10)

MNOZENJE SA 11

11. Koliko je 25x11.
Prvu i trecu cifru prepisemo, a srednju cifru dobijemo tako da saberemo okolne.

2(2+5)5
Tj 25x11=275

12. Koliko je 69x11

6 (6+9)9
6 (1^5) 9
7(5)9

Tj 69x11=759

Koristimo sutru:
ako je jedan visak dopuni onog prije.

13. Koliko je 327x11

3(3+2)(2+7)7
3(5)(9)7
Tj 327x11=3597

MNOZENJE KADA ZADNJE CIFRE OBA FAKTORA SABRANE DAJU 10

Napomena: Ovo pravilo vrijedi samo za mnozenje brojeva koji se nalaze unutar iste desetice!

13 Koliko je 37x33

Prvi dio rjesenja: mnozimo prvu cifru s vecom za jedan …3x4=12
Drugi dio rjesenja: mnozimo zadnje cifre 7x3=21
37x33=1221

14. Koliko je 118x112

Kada imamo trocifreni broj uzimamo prve dvije cifre jednog broja i mnozimo s brojem vecim za jedan. Drugi dio rjesenja je kao i u prethodnom primjeru proizvod posljednjih cifri brojeva.
11x12=132
8x2=16
118x112=13216

MNOZENJE VERTIKALNO I DIJAGONALNO

Sljedeca pravila vrijede opcenito za sve brojeve.

15. Koliko je 12x14
Prvo mnozimo zadnje cifre faktora (vertikalno) 2x4=8 i to je posljednja cifra rjesenja.
Zatim mnozimo dijagonalno i wsabiremo umnoske
1x4=4
1x2=2
4+2=6
To je upravo srednji dio odgovora.
Mnozenjem prvih cifri faktora (vertikalno) dobivamo prvu cifru ukupnog rjesenja.
12x14=168

16. Koliko je 28x19

2x1 (2x9+1x8) 8x9
2 (18+8) 72
2 (26) 7^2
2(33)2
2 (3^3)2
5(3)2
28x19=532

KVADRIRANJE

16. Koliko je 98^2

98-2=96
2x2=4
982=9604

Za bazu uzimamo broj 100.
Prvi dio proizvoda racunamo tako da od broja koji kvadriramo oduzmemo njegov komplement u pripadnoj bazi.

(98-(100-98)).

Drugi dio odgovora dobit cemo ako dobiveni komplement kvadriramo, ali moramo voditi racuna o broju cifri. U ovom primjeru baza je 100 sto znaci da se drugi dio odgovora mora sastojati od 2 cifre.

KVADRIRANJE BROJEVA KOJIMA JE POSLJEDNJA CIFRA 5

17. Izracunati 15^2

Prvi dio odgovora nalazimo tako da prvu cifru pomnozimo s brojem koji je za jedan veci od nje.
Drugi dio odgovora je jednostavno .
1x2=2
5x5=25
152=225

18. Koliko je 95^2
9x10=90
5x5=25
952=9025

MNOZENJE SA 9

Mnozenje s 9 je vrlo jednostavno.
11x9=99; 12x9=108; 13x9=117; 18x9=162; 21x9=189; 22x9=198; 48x9=432

Koje je pravilo?
Primjer 1. 26x9=…

Prvo izracunamo prva cifra + 1 (2+1=3)
Cijeli dvocifreni broj -3 (26-3=23)
Odnosno:
Prvi dio rjesenja dobijamo tako sto izracunamo
cijeli dvocifreni broj – (prva cifra + 1) =>[26-2-1=23]
drugi dio rjesenja je komplement broja 6 a to je 4.
Tj.
26x9=234

2. Koliko je 47x9
47-(4+1)=47-5=42
Komplement od 7 je 3

47x9=423

3. Koliko je 148x9

Prvi dio rjesenja dobijamo tako sto izracunamo
cijeli trocifreni beoj – (prva cifra + 1)
148-(14+1)=148-15=133
10-8=2 (komplement od 8)
tj.
148x9=1332



Dodato posle 2 minuta:
--------------------------------------------------------------------------

ODUZIMANJE

Oduzimanje po vedskoj matematici svodi se na pravilo svi do 9 zadnji do 10
Racunamo komplement broja od 10 i 9

Komplement od 10
Broj 9 (10-9=1)
Broj 8 (10-8=2)
Broj 7 (10-7=3)
Broj 6 (10-6=4)
Broj 5 (10=5=5)
Broj 4 (10-4=5)
Broj 3 (10-3=6)
Broj 2 (10-2=7)
Broj 1 (10-1=9)

Komplement od 9
Broj 9 (9-9=0)
Broj 8 (9-8=1)
Broj 7 (9-7=2)
Broj 6 (9-6=3)
Broj 5 (9=5=4)
Broj 4 (9-4=5)
Broj 3 (9-3=6)
Broj 2 (9-2=7)
Broj 1 (9-1=8)

1.
73-26=47
standardno oduzimanje:
3 – 6 ne možemo oduzeti pa računamo 13 – 6 = 7 pa pamtimo 1 koji dodajemo 2 pa imamo (2+1=3); 7 – 3 = 4

Racunanje uz pomoc formule svi do 9 zadnji do 10 svodi se na trazenje razlike izmedju dva broja. Prvi broj je manji od donjeg pa ne mozemo izracunati 3 – 6. racunamo razliku izmedju dva broja razlika je6-3= 3, a komplement od 3 je 10-3=7. Pišemo 7. Kada smo završili s računanjem komplementa od zadnjeg broja oduzimamo jedan. Ovako 7-2=5, 5-1=4. I rezultat je tu, bez nepotrebnog pamcenja jedinica, racunanja od 6 do 13 i sl.

2.
435 – 178 =257

Racunamo : 8 do 15 = 7 (jedan pamtimo i dodajemo broju 7), pa imamo 8 do 13 = 5 ( jedan pamtimo i dodajemo broju 1) i računam 4 – 2 = 2

Vedski postupak:
5 je manji od 8; razlika je 3, komplement od 10 (10-3) je 7. (pisemo 7);
3 je manji od 7; razlika je 4, komplement od 9 (9-4) je 5. (pišemo 5).
I na kraju 4-1=3, ali kako smo završili s komplementima racunamo jos jedan manji 3-1=2.
3.
72341 – 57654=14787

1 je veci od 4; razlika 3, komplement od 10 (10-3) je 7; (pisemo 7)
4 je veci od 5; razlika 1, komplement od 9 (9-1) je 8; (pisemo 8)
3 je veci od 6; razlika 3, komplement od 9 (9-3) je 6; (pisemo 6)
2 je veci od 7; razlika 5, komplement od 9 (9-5) je 4; (pisemo 4)
7-5=2; zavrsili smo s komplementima pa oduzimamo još jedan: 2-1=1; (pisemo 1)

 
Poslednja izmena:
Član
Učlanjen(a)
13.09.2010
Poruka
100
Zadatak

Kocka duzine ivice 3 cm i uspravna cetverostrana piramida imaju zajednicku osnovicu i jednake volumene. Koliki je volumen dijela piramide koji se nalazi izvan kocke?

 
Član
Učlanjen(a)
13.09.2010
Poruka
100
Zadatak

Kocka duzine ivice 3 cm i uspravna cetverostrana piramida imaju zajednicku osnovicu i jednake volumene. Koliki je volumen dijela piramide koji se nalazi izvan kocke?

Nacrtajmo skicu:
slika1b.jpg

slika 1
Izracunajmo zapreminu kocke
V=a^3
V=3^3
V=27cm^3
slika2gz.jpg

slika 2
Zapremina piramide i kocke je 27 cm^3
Zapremina piramide
V_1=Bh/3
V_1=(3^2)*h/3
3h=27
h=9 cm ( visina piramide)
treba izracunati visinu piramide iznad kocke
h_1=h-a
h=9-3
h=6cm
iz krnje piramide
slika3i.jpg

slika 3
B:B_1=h^2:h_1
9:B_1=9^2:6^2
9/B_1 =81/36 /36*B_1/81
B_1=9*36/81=36/9=4
slika4x.jpg

slika 4
slika5.jpg

slika 5
V_1=B_ 1*h_1/3
V_1=4*6/3
V_1=8 cm^3
 
Član
Učlanjen(a)
12.02.2010
Poruka
357
rozalin, da li možeš da mi kažeš pomoću kog programa si nactrala ove sličice?
 
Član
Učlanjen(a)
02.12.2010
Poruka
12
ukoliko želite da se upoznate sa proširenom matematikom download
2shared - download m.s. math 2.pdf
matematika koja ima rešenja za sve probleme. Napomena : proširena matematika se postepeno popunjava. Hvala

Postavite ovaj problem svojim učiteljima,nastavnicima,profesorima, i drugim ličnostima koji kreiraju obrazovanje.
 
Član
Učlanjen(a)
02.12.2010
Poruka
12
Ms.0

Matematiku kakvu poznajete je ograničena, ima greške.

Prva greška matematike:dužina (površina,zapremina) se sastoji od tačaka.
Pogledajte dokaze gde se vidi da dužina sastoji od dužine, površina od površine, zapremine od zapremine. Onda se pitate šta je tačka.
999.jpg
Ja sam inovator matematičar. Moja osnova jedan aksiom (definisanost tačke, prirodna duž).
Sve ostalo se dokazuje u prostoru, upoznajte moju matematiku, proširite svoje znanje.
MS.0.Osnovni aksiom.Definisanost tačke.Prirodna duž.
Početak (kraj) prirodne duži je tačka.Prirodna duž ima dve tačke, dužinu između tačaka.
Prirodna duž je osnovna mera dužine.
998.png
Da biste shvatili moju matematiku pročitajte sve članke sa oznakom MS.(broj dokaza).
[email protected]
 
Član
Učlanjen(a)
02.12.2010
Poruka
12
Ms.1

MS.1. Spajanje prirodnih duži.
Prirodne duži se spajaju tackama. Vrste spajanja: (2.1),(3.1),(4.1).....
997.jpg
Da biste shvatili moju matematiku pročitajte sve članke sa oznakom MS.(broj dokaza).
[email protected]
 
Član
Učlanjen(a)
02.12.2010
Poruka
12
Ms.2

MS.2.Ciklusi spajanja prirodnih duži.Prirodno dužna linija.
Jednobrazni ( konacni,beskonacni) ciklusi, oblici (2.1),(3.1),(4.1),....
996a.jpg
Kombinovani (konacni, beskonacni) ciklusi, kombinacije spajanje prirodnih duži.
primer:
996b.jpg
Svi ovi ciklusi su prirodne dužne linije.

Da biste shvatili moju matematiku pročitajte sve članke sa oznakom MS.(broj dokaza).
[email protected]
 
Top