VEDSKA MATEMATIKA
Vedska matematika je drevni indijski matematicki sistem, odnosno tehnika racunanja osnovana na jedinstvenim pravilima. Pomocu ovih pravila mozemo napamet rijesiti svaki matematicki problem:
1. aritmeticki
2. algebarski
3. geometrijski
4. trigonometrijski
kod ucenika ona potice razvoj i
upotrebu intuicije i kreativnosti te
ucenicima nudi mnostvo fleksibilnosti,
zabave i zadovoljstva.
Na veoma lak i brz nacin mozemo itzracunati proizvod dva trocifrena broja. Ovo zvuci kao carolija ali nije.
Vedska matematika potice iz Veda, staroindijskih tekstova napisanih 1500. – 900. g.pne, a otkrio ju je Sri Bharati Krsna Tirthaji (1884.-1960.). Prema njegovim istrazivanjima cijela matematika je utemeljena na 16 pravila ili sutri (pravilo = sutra) te 13 pod-pravila ili sub-sutri koja rjesavaju svaki matematicki problem kako iz aritmetike tako i iz algebre, geometrije i trigonometrije napamet!
Sutre su jednostavne formule opisane s nekoliko rijeci, lagane za razumjeti, primijeniti i zapamtiti. Shri Bharati kaze da ta pravila pokazuju put kojim se um prirodno krece. Svoja istrazivanja sacuvao je u knjizi Vedic Mathematics or sixteen simple mathematical formulae from Vedas. Iako je ta knjiga trebala biti samo uvod u matematiku, nazalost, samo je nju stigao napisati.
TABLICA MNOZENJA
Prije mnozenja potrebno je objasniti pojam baze i komplementa nekog broja.
Najbolje je krenuti s primjerom:
Komplement broja 8 (u bazi 10) je broj 2 (jer je 8+2=10),
komplement broja 92 je broj 8 (jer je 92+8=100),
komplement broja 971 je broj 29 (jer je 971+29=1000), itd.
Dakle baza je broj koji se nalazi blizu zadanog broja (10, 100, 1000,… ali moze biti i 50, 40, 30, 20,… 500, … sve po potrebi, a kakvoj … najbolje je vidjeti na primjeru).
Komplement od baze 10, 100, 1000, 10000… racuna se vrlo jednostavno po jednoj od 16 sutri ili pravila:
˝svi do 9, zadnji do 10˝. (rijec je o ciframa)
Kako savladati tablicu mnozenja preko 5x5 uz pomoc prstiju?
Primjeri:
1. Koliko je 6x8!
Na jednoj ruci prikazimo broj 6 kao 5+1, jedan prst je dignut, a cetiri spustena.
Na drugoj ruci prikazimo broj 8 (5+3) s tri dignuta prsta a dva spustena.
Dignute prste s obe ruke saberimo (1+3=4) i dobivamo prvu cifru (4), a spustene prste pomnozimo (4x2=8) te tako dobivamo i drugu cifru (8).
6x8=48
Pogledajmo i primjer gdje cemo mnozenjem spustenih prstiju dobiti broj veci od 9, sto onda uciniti? Naravno, postoji sutra i za taj slucaj:
˝ako je jedan visak dopuni onog prije˝.
2. Koliko je 6x7
Na jednoj ruci prikazimo 6, (5+1), s jednim uzdignutim i 4 spustena prsta, a na drugoj ruci broj 7, (5+2), s dva podignuta i s 3 spustena prsta. Podignute prste saberimo (1+2=3), a spustene pomnozimo (4x3=12). Druga cifra ce sada biti 2, a 1 dodajemo prvoj cifri koja sada postaje broj 4.
1+2=3 (3+1=4)
4x3=12
tj 6x7=42
Isto se moze izracunati napamet, bez pomoci prstiju.
3. Koliko je 6x8
Baza je 10.
Razmisljamo na sljedeci nacin: imam 6, a do 10 mi treba 4;
imam 8, a do 10 mi treba 2.
Rezultat opet dijelimo na dva dijela. Potrebno je na neki nacin pokusati vizualizirati sljedecu tablicu. U prvom stupcu se nalaze faktori koje mnozimo, a u drugom stupcu komplementi zadanih brojeva (u ovom slucaju u bazi 10). Minusi se pisu zato sto je faktor koji se mnozi manji od baze.
Prvi dio odgovora (lijevi dio) izracunavamo tako da dijagonalno izracunamo
6-2=4 ili 8-4=4, a
drugi dio (desni) tako da pomnozimo brojeve u 2. stupcu, (-4)(-2)=8
tj 6x8=48
MNOZENJE BROJEVA KOJI SU BLIZU 10, 100, 1000, 10000, 100000…
4.Treba naci proizvod brojeva 96 i 92, ovdje je baza 100.
100-96=-4
100-92=-8
Prvi dio rjesenja dobivamo sabiranjem 96-8=88 ili 92-4=88, a drugi dio mnozenjem faktora -4 i -8 tj 8-4)(-8)=32.
96x92=8832
5. Koliko je 86x89
100-86=-14
100-89=-11
Racunamo u bazi 100 pa je jedna cifra viska u drugom dijelu
86-11=75
89-14=75
(-14)(-11)=154 (1^54)
75+1=76
Tj 86x89=7654
6. 998x997
1000-998=-2
1000-997=-3
997-2=995
(-2)(-3)=6
Drugi dio je 006 jer je baza 1000.
Tj
998x997=995006
7. 14x7
10-14=4
17-100=7
14+7=21
4X7=28 (2^8 baza 10)
14x7=228
8. (jedan faktor veci, a jedan manji od baze) 106x88
100-106=6
100-98=-2
106-2=104
6X(2)=-12
Jedan faktor je veci, a jedan manji od baze, proizvod faktora u drugom stupcu je negativan broj te se u tom slucaju za drugi dio odgovora uzima pozitivan komplement dobivenog proizvoda. Baza je 100.
100-12=88
104(-12) je Viculum broj (sadrzi pozitivan i negativan dio), a pretvara se u obican tako da negativnom dijelu nadjemo komplement, a onaj ispred njega smanjimo za 1 (10400-12=10388)
9. Izracunaj 56x52
U ovom slucaju najbolje je za bazu uzeti broj 50. Imajmo na umu da je 100:2=50, pa cemo prvi dio rjesenja podijeliti s 2.
Odnosno
56+2=58
58:2=29
6x2=12
Tj
56x52= 2912
10. Koliko je 43x47
U ovom primjeru za bazu mozemo uzeti broj 40, ali isto tako baza bi mogla biti i broj 50.
Imajmo na umu da je 40=10x4
43=40+3
47=40+7
43+7=50
50x4
3x7=21(21)
184+2=186
Tj.
47x73=1861
U drugom dijelu je jedna cifra zbog baze 40 (40x10)
MNOZENJE SA 11
11. Koliko je 25x11.
Prvu i trecu cifru prepisemo, a srednju cifru dobijemo tako da saberemo okolne.
2(2+5)5
Tj 25x11=275
12. Koliko je 69x11
6 (6+9)9
6 (1^5) 9
7(5)9
Tj 69x11=759
Koristimo sutru:
ako je jedan visak dopuni onog prije.
13. Koliko je 327x11
3(3+2)(2+7)7
3(5)(9)7
Tj 327x11=3597
MNOZENJE KADA ZADNJE CIFRE OBA FAKTORA SABRANE DAJU 10
Napomena: Ovo pravilo vrijedi samo za mnozenje brojeva koji se nalaze unutar iste desetice!
13 Koliko je 37x33
Prvi dio rjesenja: mnozimo prvu cifru s vecom za jedan …3x4=12
Drugi dio rjesenja: mnozimo zadnje cifre 7x3=21
37x33=1221
14. Koliko je 118x112
Kada imamo trocifreni broj uzimamo prve dvije cifre jednog broja i mnozimo s brojem vecim za jedan. Drugi dio rjesenja je kao i u prethodnom primjeru proizvod posljednjih cifri brojeva.
11x12=132
8x2=16
118x112=13216
MNOZENJE VERTIKALNO I DIJAGONALNO
Sljedeca pravila vrijede opcenito za sve brojeve.
15. Koliko je 12x14
Prvo mnozimo zadnje cifre faktora (vertikalno) 2x4=8 i to je posljednja cifra rjesenja.
Zatim mnozimo dijagonalno i wsabiremo umnoske
1x4=4
1x2=2
4+2=6
To je upravo srednji dio odgovora.
Mnozenjem prvih cifri faktora (vertikalno) dobivamo prvu cifru ukupnog rjesenja.
12x14=168
16. Koliko je 28x19
2x1 (2x9+1x8) 8x9
2 (18+8) 72
2 (26) 7^2
2(33)2
2 (3^3)2
5(3)2
28x19=532
KVADRIRANJE
16. Koliko je 98^2
98-2=96
2x2=4
982=9604
Za bazu uzimamo broj 100.
Prvi dio proizvoda racunamo tako da od broja koji kvadriramo oduzmemo njegov komplement u pripadnoj bazi.
(98-(100-98)).
Drugi dio odgovora dobit cemo ako dobiveni komplement kvadriramo, ali moramo voditi racuna o broju cifri. U ovom primjeru baza je 100 sto znaci da se drugi dio odgovora mora sastojati od 2 cifre.
KVADRIRANJE BROJEVA KOJIMA JE POSLJEDNJA CIFRA 5
17. Izracunati 15^2
Prvi dio odgovora nalazimo tako da prvu cifru pomnozimo s brojem koji je za jedan veci od nje.
Drugi dio odgovora je jednostavno .
1x2=2
5x5=25
152=225
18. Koliko je 95^2
9x10=90
5x5=25
952=9025
MNOZENJE SA 9
Mnozenje s 9 je vrlo jednostavno.
11x9=99; 12x9=108; 13x9=117; 18x9=162; 21x9=189; 22x9=198; 48x9=432
Koje je pravilo?
Primjer 1. 26x9=…
Prvo izracunamo prva cifra + 1 (2+1=3)
Cijeli dvocifreni broj -3 (26-3=23)
Odnosno:
Prvi dio rjesenja dobijamo tako sto izracunamo
cijeli dvocifreni broj – (prva cifra + 1) =>[26-2-1=23]
drugi dio rjesenja je komplement broja 6 a to je 4.
Tj.
26x9=234
2. Koliko je 47x9
47-(4+1)=47-5=42
Komplement od 7 je 3
47x9=423
3. Koliko je 148x9
Prvi dio rjesenja dobijamo tako sto izracunamo
cijeli trocifreni beoj – (prva cifra + 1)
148-(14+1)=148-15=133
10-8=2 (komplement od 8)
tj.
148x9=1332
Dodato posle 2 minuta:
--------------------------------------------------------------------------
ODUZIMANJE
Oduzimanje po vedskoj matematici svodi se na pravilo svi do 9 zadnji do 10
Racunamo komplement broja od 10 i 9
Komplement od 10
Broj 9 (10-9=1)
Broj 8 (10-8=2)
Broj 7 (10-7=3)
Broj 6 (10-6=4)
Broj 5 (10=5=5)
Broj 4 (10-4=5)
Broj 3 (10-3=6)
Broj 2 (10-2=7)
Broj 1 (10-1=9)
Komplement od 9
Broj 9 (9-9=0)
Broj 8 (9-8=1)
Broj 7 (9-7=2)
Broj 6 (9-6=3)
Broj 5 (9=5=4)
Broj 4 (9-4=5)
Broj 3 (9-3=6)
Broj 2 (9-2=7)
Broj 1 (9-1=8)
1.
73-26=47
standardno oduzimanje:
3 – 6 ne možemo oduzeti pa računamo 13 – 6 = 7 pa pamtimo 1 koji dodajemo 2 pa imamo (2+1=3); 7 – 3 = 4
Racunanje uz pomoc formule svi do 9 zadnji do 10 svodi se na trazenje razlike izmedju dva broja. Prvi broj je manji od donjeg pa ne mozemo izracunati 3 – 6. racunamo razliku izmedju dva broja razlika je6-3= 3, a komplement od 3 je 10-3=7. Pišemo 7. Kada smo završili s računanjem komplementa od zadnjeg broja oduzimamo jedan. Ovako 7-2=5, 5-1=4. I rezultat je tu, bez nepotrebnog pamcenja jedinica, racunanja od 6 do 13 i sl.
2.
435 – 178 =257
Racunamo : 8 do 15 = 7 (jedan pamtimo i dodajemo broju 7), pa imamo 8 do 13 = 5 ( jedan pamtimo i dodajemo broju 1) i računam 4 – 2 = 2
Vedski postupak:
5 je manji od 8; razlika je 3, komplement od 10 (10-3) je 7. (pisemo 7);
3 je manji od 7; razlika je 4, komplement od 9 (9-4) je 5. (pišemo 5).
I na kraju 4-1=3, ali kako smo završili s komplementima racunamo jos jedan manji 3-1=2.
3.
72341 – 57654=14787
1 je veci od 4; razlika 3, komplement od 10 (10-3) je 7; (pisemo 7)
4 je veci od 5; razlika 1, komplement od 9 (9-1) je 8; (pisemo 8)
3 je veci od 6; razlika 3, komplement od 9 (9-3) je 6; (pisemo 6)
2 je veci od 7; razlika 5, komplement od 9 (9-5) je 4; (pisemo 4)
7-5=2; zavrsili smo s komplementima pa oduzimamo još jedan: 2-1=1; (pisemo 1)
