Istorija matematike
Matematika starog Egipta
Jedna od najranijih kultura i civilizacija što ih je čovjek stvorio na Zemlji bila je staroegipatska. I danas ćemo se još uvek ponovno i ponovno zadiviti pred ostacima te velike baštine, razasutim po muzejima sveta i u svojoj postojbini: bilo da je reč o umetničkim delima u muzeju u Kairu, npr. iz zbirke nađene u Tutankamonovoj grobnici, bilo da motrimo ostatke čudesne građevine kraljice Hatšepsut, njenog hrama u Der el Bahariju, ili velikih piramida, hrama u Luksoru ili grobnica u Dolini kraljeva, bilo da čitamo šifrirane tekstove iz staroegipatske Knjige mrtvih, bilo da iz sačuvanih skica i opisa pokušamo rekonstruirati kako su podizane njihove monumentalne građevine… U svakom ćemo slučaju ostati iznenađeni pred snagom duha i volje i pred dubinom misli što su nikle i razvile se u dolini Nila pre nekoliko milenijuma.
I staroegipatska je matematika jedna od najranijih epoha razvoja te znanosti. Posebno jedna od prvih grana matematike, geometrija, već samim svojim nazivom otkriva i svoje poreklo. To je po postanku grčka reč koja bi, doslovno prevedena, značila "merenje zemlje". A upravo kao merenje zemlje geometrija se široko razvila već u starom Egiptu. Poslovična izreka, "Egipat je dar Nila", dovoljno je poznata. Bez blatnjavih žutih voda te reke što su milenijumima natapale zemlju, ne bi se razvila tako bogata civilizacija starog Egipta. No, posle redovnih velikih poplava Nila, svake bi se godine granice zemljišnih posjeda izbrisale i trebalo ih je ponovno odrediti – valjalo je, dakle, premeravati zemljišta. Izgradnja veličanstvenih hramova, piramida, kipova, takođe je zahtevala određena znanja iz geometrije.
O staroegipatskoj matematici doznajemo ponajviše iz dva poznata papirusa: Ahmesovog ili Rhindovog i Moskovskog . Rhindov papirus je 1858. otkrio škotski egiptolog Henry Rhind u Luxoru. To je zapravo svitak dužine 6 m, širine 30 cm. Pisao ga je pisar Ahmes oko 1650 g. pr. Kr. i verovatno je nastao tako što je Ahmes prepisivao neki spis star 200 godina. Danas se čuva u British Museumu u Londonu, a sadrži 87 matematičkih problema.
To je jedna kompletna "studija o svim stvarima, pogled u unutrašnjost svega što postoji, saznanje o tamnim tajnama", kako piše u samom papirusu. Ahmesov papirus je zbirka tablica i vežbi, retorička u svojoj formi, koja je namenjena uglavnom učenju matematike. Sadrži vežbe iz aritmetike, algebre, geometrije i raznih merenja. Moskovski papirus otkrio je 1893. godine V. S. Golenichev. Dug je 6 m, širok 8 cm. Sadrži 25 problema, od kojih mnogi nisu čitljivi. Čuva se u Moskovskom muzeju.
Stari Egipćani imali su razvijen decimalni sistem i svoje oznake za brojeve.
Hijeroglifskim znacima se pisalo po kamenu kako s leva na desno, tako i obrnuto, a ponekad i odozgo prema dole. Različito pisanje ne stvara probleme kod čitanja bojeva jer egipatski način pisanja brojeva nije pozicijski. Hijeratički su znaci uvedeni za brzo pisanje po papirusu, drvu ili po lončariji.
Osim navedenih, upotrebljavali su se povremeno i neki posebni znakovi za brojeve koji nisu dekadske jedinice. Npr. za broj dva crtali bi se goveđi rogovi, za broj pet morska zvijezda, a ljudska glava bila je i oznaka za broj sedam (7 otvora).
Koristili su brojevni sistem sa bazom 10, a jedna od glavnih razlika između hijeratičkih brojeva i našeg brojnog sistem jeste to da hijeratički brojevi nisu bili pisani u sistemu pozicionih vrednosti, tako da su znakovi mogli biti pisani bilo kojim redosledom. Hijeratički je sistem adicioni sistem. Recimo, broj 249 zapisuje se kao 249 = 2100 + 410 + 9, pa u zapisu imaju dva znaka za 100, četiri znaka za 10 i devet znakova za 1.
Egipatski brojni sistem nije bio pogodan za računanje, ali je trgovina zahtevala sabiranje, oduzimanje, množenje, deljenje i rad sa razlomcima.
Sabiralo se grupisanjem istih simbola zajedno i pretvaranjem njih 10 u jedan simbol sledećeg nivoa.
Oduzimalo se tako da se uklanjao određeni broj istih simbola.
Množenje prirodnih brojeva odaje nam da su se služili i potencijama broja 2. Stari Egipćani množili su dva broja koristeći udvostručavanje brojeva.
Deljenje u starih Egipćana zahtevalo je korišćenje množenja i vrlo često upotrebu razlomaka.
Na poseban su način označavali razlomke, tako specifičan da nema sličnosti ni s jednom drugom kulturom. Razlomak sa brojiocem jedan zapisivao se tako da se iznad znaka za imenioc stavio poseban znak sa značenjem "dio". Svi razlomci pisali su se s jediničnim brojiocem, a ako to nije bilo moguće, onda su ga prikazivali kao zbir takvih.
Kad je pisar morao računati s razlomcima, bio je suočen s mnogim problemima, uglavnom vezanim za njihovo zapisivanje. Njihove metode zapisivanja nisu im dopuštale da pišu jednostavne razlomke kao što su 3/5 ili 15/33 zato što su svi razlomci morali biti prikazani sa brojiocem 1. Ako to nije bilo moguće, onda se razlomak morao zapisati kao zbir razlomaka sa brojiocem 1. Izuzetak u tome je bio razlomak 2/3. Razlomci su zapisivani tako da je iznad imenioca stavljen hijeroglif koji je označavao "otvorena usta" .Danas pojednostavljeno razlomke s jedinicom u brojiocu pišemo s kosom crtom iza koje slijedi imenioc, npr. 1/2 zapisujemo kao /2, 1/4 kao /4, dok se izuzeto, 2/3, piše //3.
Stari Egipćani verovali su da ih "Rx" simbol, tj. simbol boga Horusa štiti od zla. Zato su i u matematiku ugradili simboliku pa su razvili i svojevrstan brojni sistem koji se koristio za prepisivanje lekova, podelu zemlje ili semenja. Razlomke su formirali tako što su kombinovali pojedine delove simbola oka boga Horusa. Svaki deo imao je različitu vrednost. Celokupni simbol oka ima vrijednost 1, a celi sistem se temelji na podeli na polovine. Pola od 1 je 1/2, pola od 1/2 je 1/4, itd. sve do 1/64.
Npr., da bismo prikazali razlomak 5/8, kombinujemo razlomke 1/8 i 1/2.
Ako pogledamo fantastične građevine koje su stari Egipćani ostavili u prilog svetskoj baštini, ne možemo a da se ne zapitamo koliko su dobro imali razvijenu geometriju, stereometriju i sve ono što im je bilo potrebno za izgradnju piramida i hramova. Znamo da su znali računati nagib piramide, obim krnje piramide te obim piramide. Računali su površinu trougla kao 1/2 umnoška dveju kraćih stranica (što vredi samo za pravougaoni trougao); malena odstupanja nisu im značila previše. Znali su izračunati i površinu pravougla kao proizvod dužina njegovih stranica.
Ono što jeste fascinantno, a pronađeno je u Ahmesovom papirusu, je kako su računali površinu kruga:
pretpostavimo da krug ima prečnik od 9 kheta (khet je jedinica za dužinu),
uzmi 1/9 prečnika, dakle 1,
ostatak je 8,
pomnoži 8 sa 8,
dobiješ 64 i to je površina!
Kad bismo to zapisali savremenim matematičkim jezikom, P = (8/9 x prečnik)2, i usporedili rezultat sa egzaktnom formulom za izračunavanje površine kruga, , dobili bismo zanimljiv rezultat, stari Egipćani su gotovo 1000 godina pre stvarnog otkrića broja π (pi) znali njegovu približnu vrijednost. Naime, po njihovim računima π bi iznosio približno 3.1605!
Staroegipatska algebra bila je retorička, problemi i rešenja davani su rečima. Znali su rešavati jednačine prvog stepena sa tim da su obavezno provodili analizu i sintezu pri rešavanju, tj. svako rešenje su uvrštavali u početni problem da se uvere da to uistinu i jeste pravo rešenje.
Stari Egipćani nisu poznavali oznake za množenje, deljenje, jednakost, drugi koren, decimalnu tačku, nisu čak ni znali za "obični" razlomak p/q, nisu se pitali zašto nešto funkcioniše, nisu tražili univerzalnu istinu formulisanu simbolima koji bi jasno i logički pokazali njihov misaoni proces. Ali su se zato koristili i sedmoznakovnim brojevima, imali su neku čudnu mešavinu jednostavnosti i čudne komplikovanosti u svojim računima, ali taj se koncept pokazuje kao potpuno jedinstvena i zatvorena celina.
Zato se može reći da je egipatska matematika jedini sačuvani čisti primerak računske tehnike koja je bila vrlo razvijena, koja u čitavom svom razvoju nije doživela nikakav bitni diskontinuitet, već se u potpunosti temelji na osnovi računanja - na brojenju i pojmu razlomka.
Pozdrav!!!