Zanimljiva matematika

[veljazlee]

Označimo sa x broj dolara, a sa y broj centi na iznosu koji je trebalo da bude isplaćen. Sa d obeležimo vrednost dolara, a sa c vrednost centa.
Iznos koji je trebalo da bude isplaćen iznosi xc+yd.
Iznos koji je blagajnik greškom isplatio iznosi xc+yd.
Iz podataka u zadatku moguće je postaviti jednačinu:

xc+yd-5c=2(xd+yc)

pri čemu je

d=100c

Uvrstimo u prvu jednačinu d iz druge jednačine:

xc+100yc-5c=2(100xc+yc)

Skratimo obe strane sa c:

x+100y-5=200x+2y

199x+5=98y

y=(199x+5)/98

I x i y su prirodni brojevi, a iz činjenice da je y prirodni broj, kao i iz prethodne jednačine, sledi da 199x+5 mora biti deljiv sa 98, tj. da je

199x+5=98k,

gde je k ceo broj.

Taj izraz se može napisati i kao

2⋅98x+3x+5=98k,

iz čega sledi da mora biti 3x+5 deljivo sa 98, tj.

3x+5=98k
3x=98k-5
3x=9⋅11k-k-5
3x=9⋅11k-(k+5)

Odavde sledi da k+5 mora biti deljivo sa 3, tj. da je k+5=3m (gde je m ceo broj), tj. da je k oblika k=3m-5. Uvrštavanjem ove jednakosti u 3x+5=98k, dobijamo:

3x+5=98(3m-5)
3x+5=3⋅98m-98⋅5
3x=3⋅98m-99⋅5 /:3
x=98m-33⋅5
x=98m-165
x=98m-196+31
x=98(m-2)+31

Zamenom (m-2) sa k (pošto i jedan i drugi predstavljaju bilo koji ceo broj), dobijamo:

x=98k+31

a na osnovu jednačine y=(199x+5)/98 nađemo i y:

y=[199(98k+31)+5]/98
y=(199⋅98k+199⋅31+5)/98
y=(199⋅98k+199⋅31+5)/98
y=(199⋅98k+6174)/98
y=199k+63

Znači, zadatak ima beskonačno mnogo rešenja po x i y, pri čemu, ipak, x i y treba da zadovolje sledeće uslove:
x=98k+31
y=199k+63
gde je k ceo broj, međutim, pošto i x i y moraju biti pozitivni, u ovom slučaju je k prirodan broj, uključujući i nulu.

PROVERA:

k=0:
x=31
y=63
Trebalo je da bude isplaćeno 31 dolar i 63 centa (ukupno 3163 centa), a isplaćeno je 63 dolara i 31 cent (ukupno 6331 cent). Od tog 6331 centa g. Braun je kupio novine za 5 centi i ostalo mu je 6326 centi, što je 2x više od 3163 centa, koliko bi mu bilo isplaćeno da nije došlo do greške.

k=1:
x=129
y=262
Trebalo je da bude isplaćeno 129 dolara i 262 centa (ukupno 13162 centa), a isplaćeno je 262 dolara i 129 centi (ukupno 26329 centi). Od tih 26329 centi g. Braun je kupio novine za 5 centi i ostalo mu je 26324 centa, što je 2x više od 13162 centa, koliko bi mu bilo isplaćeno da nije došlo do greške.

...

k=100:
x=9831
y=19963
Trebalo je da bude isplaćeno 9831 dolar i 19963 centa (ukupno 1003063 centa), a isplaćeno je 19963 dolara i 9831 cent (ukupno 2006131 cent). Od tog 2006131 centa g. Braun je kupio novine za 5 centi i ostalo mu je 2006126 centi, što je 2x više od 1003063 centa, koliko bi mu bilo isplaćeno da nije došlo do greške.

...

Bravo!!! Samo, ako primetimo jedan uslov, a to je da broj centi treba da bude manji od 100, jer 100 centi cini jedan dolar, tada mozemo da smatramo da zadatak ima samo jedno resenje!

 

[veljazlee]

Simpa zadatak!

Potrebno je voćku izvući iz kutije u kojoj se sigurno ne nalaze mešana voća (jer izvlačenjem bilo koje voćke iz „mešane“ kutije ne bismo saznali ništa novo). Kutija na kojoj piše MEŠANO je upravo jedna od one dve na kojoj se NE nalaze mešana voća (zbog toga što se na svakoj kutiji, pa i na toj, nalazi pogrešan natpis). Prema tome, voćku treba izvaditi iz kutije na kojoj piše MEŠANO.
– Ako izvučemo jabuku, znači da je to kutija s jabukama, pa na nju prebacujemo natpis JABUKE; kutija na kojoj stoji natpis KRUŠKE sigurno ne sadrži kruške (jer se i na njoj mora nalaziti pogrešan natpis), a ne sadrži ni jabuke, jer smo kutiju s jabukama već pronašli, što znači da sadrži mešana voća, tako da na nju prebacujemo natpis MEŠANO, a na onu preostalu kutiju stavljamo natpis KRUŠKE.
– Ako izvučemo krušku, znači da je to kutija s kruškama, pa na nju prebacujemo natpis KRUŠKE; kutija na kojoj stoji natpis JABUKE sigurno ne sadrži jabuke (jer se i na njoj mora nalaziti pogrešan natpis), a ne sadrži ni kruške, jer smo kutiju s kruškama već pronašli, što znači da sadrži mešana voća, tako da na nju prebacujemo natpis MEŠANO, a na onu preostalu kutiju stavljamo natpis JABUKE.

Tako je!

 

[veljazlee]

Posto volis da resavas druze, evo jos jedan lep zadatak

У једном вагону била су три гладна путника. Један је код себе имао 3 погачице, други
5, а трећи путник није имао ништа од хране. Ова двојица одлучише да ипак сви
заједно поједу тих 8 погачица. Када су завршили овај трећи који није имао ништа од
од хране устаде и рече: ево моје станице и ја сад одлазим, хвала вам и изволите 32
динара. Толико вам дугујем! Овај који је имао 3 погачице каже: поделићемо новац на
пола, сваком по 16 динара. А овај други, који је имао 5, рече: не, ја сам имао 5 а ти
само 3, не може на пола. Поделићемо у односу 5:3, дакле мени 20 а теби 12 динара.
И пошто нису могли да се договоре око поделе одлучише да упитају једног старца
из суседног вагона. Када су му објаснили проблем деда их је упитао: да ли сте сви
појели подједнак део? Одговорише му да је тако било. Е онда нисте у праву ни један
ни други. Како треба да поделе новац и колико кошта једна погачица?

 

[iskaz]

Pošto je bilo ukupno 8 pogačica, a 3 putnika, pri čemu su sva trojica pojela podjednak deo, sledi da je svaki od te trojice putnika pojeo 8/3 pogačica.

Putnik koji kod sebe nije imao nijednu pogačicu, a pojeo je (kao i ostali) 8/3 pogačica, dugovao je ostalima 32 din. Ako sa x označimo cenu pogačice, to znači:

(8/3)x=32 ⇒ x=12

Prema tome, cena jedne pogačice je 12 dinara.

Putnik koji je kod sebe u startu imao 3 pogačice, a pojeo 8/3 pogačice, na „gubitku“ je (3-8/3), tj. 1/3 pogačice. Pošto jedna pogačica iznosi 12 dinara, 1/3 pogačice iznosi 4 dinara, što je iznos koji njemu treba da se nadoknadi.

Putnik koji je kod sebe u startu imao 5 pogačica, a pojeo 8/3 pogačice, na „gubitku“ je (5-8/3), tj. 7/3 pogačice. Pošto jedna pogačica iznosi 12 dinara, 7/3 pogačice iznosi 28 dinara, što je iznos koji njemu treba da se nadoknadi.

Znači, 32 dinara treba raspodeliti na: 4 dinara prvom putniku i 28 dinara drugom putniku.

 

[veljazlee]

Pošto je bilo ukupno 8 pogačica, a 3 putnika, pri čemu su sva trojica pojela podjednak deo, sledi da je svaki od te trojice putnika pojeo 8/3 pogačica.

Putnik koji kod sebe nije imao nijednu pogačicu, a pojeo je (kao i ostali) 8/3 pogačica, dugovao je ostalima 32 din. Ako sa x označimo cenu pogačice, to znači:

(8/3)x=32 ⇒ x=12

Prema tome, cena jedne pogačice je 12 dinara.

Putnik koji je kod sebe u startu imao 3 pogačice, a pojeo 8/3 pogačice, na „gubitku“ je (3-8/3), tj. 1/3 pogačice. Pošto jedna pogačica iznosi 12 dinara, 1/3 pogačice iznosi 4 dinara, što je iznos koji njemu treba da se nadoknadi.

Putnik koji je kod sebe u startu imao 5 pogačica, a pojeo 8/3 pogačice, na „gubitku“ je (5-8/3), tj. 7/3 pogačice. Pošto jedna pogačica iznosi 12 dinara, 7/3 pogačice iznosi 28 dinara, što je iznos koji njemu treba da se nadoknadi.

Znači, 32 dinara treba raspodeliti na: 4 dinara prvom putniku i 28 dinara drugom putniku.

Odlicno!