Zanimljiva matematika

[rozalin]

Zadatak je
Naci prirodne brojeve takve da je x^y=y^(x-y)

 

[svetlana555]

Koliko je teska cigla ako je

cigla = 1 kg + 1/2 cigle

2kg je teška cigla

 

[rozalin]

Za prirodne brojeve n>1 postoji jedninstvena Pitagorina trojka koju cine susjedni brojevi (n-1, n, n+1). Koja je to trojka.

​

 

[lehrer]

Opštepoznato je da Pitagorina teorema glasi a[SUP]2 [/SUP]+ b[SUP]2 [/SUP]= c[SUP]2[/SUP], gde su a i b katete, a c hipotenuza pravouglog trougla. Iz uslova zadatka, dolazimo do sledećeg izraza: (n - 1)[SUP]2[/SUP] + n[SUP]2 [/SUP]= (n + 1)[SUP]2[/SUP].
Sređivanjem jednakosti dobijamo: n[SUP]2 [/SUP]- 2n + 1 + n[SUP]2 [/SUP]= n[SUP]2 [/SUP]+ 2n + 1.
Pošto prebacimo nepoznate na jednu stranu, sledeća jednakost je: n[SUP]2 [/SUP]- 2n + n2 - n2 - 2n = 1 - 1
Dalje, to je: n[SUP]2 [/SUP]- 4n = 0, pa je n[SUP]2 [/SUP]= 4n, odakle sledi da je n = 4, a ostala dva broja su 3 i 5. Dakle, trojka je: 3, 4 i 5.

 

[rozalin]

Za prirodne brojeve n>1 postoji jedninstvena Pitagorina trojka koju cine susjedni brojevi (n-1, n, n+1). Koja je to trojka.

​

n[SUP]2[/SUP]+(n-1)[SUP]2[/SUP]=(n+1)[SUP]2[/SUP]
2n[SUP]2[/SUP]+-2n+1=n[SUP]2[/SUP]+2n+1
n[SUP]2[/SUP]-4n=0
n(n-4)=0
n=0 i n=4
Trazena trojka je (3,4,5)

 

[rozalin]

Opštepoznato je da Pitagorina teorema glasi a[SUP]2 [/SUP]+ b[SUP]2 [/SUP]= c[SUP]2[/SUP], gde su a i b katete, a c hipotenuza pravouglog trougla. Iz uslova zadatka, dolazimo do sledećeg izraza: (n - 1)[SUP]2[/SUP] + n[SUP]2 [/SUP]= (n + 1)[SUP]2[/SUP].
Sređivanjem jednakosti dobijamo: n[SUP]2 [/SUP]- 2n + 1 + n[SUP]2 [/SUP]= n[SUP]2 [/SUP]+ 2n + 1.
Pošto prebacimo nepoznate na jednu stranu, sledeća jednakost je: n[SUP]2 [/SUP]- 2n + n2 - n2 - 2n = 1 - 1
Dalje, to je: n[SUP]2 [/SUP]- 4n = 0, pa je n[SUP]2 [/SUP]= 4n, odakle sledi da je n = 4, a ostala dva broja su 3 i 5. Dakle, trojka je: 3, 4 i 5.

ovo je uredu. nisam vidjela pa sam stavila rjesenje

 

[veljazlee]

Blagajnik je gospodinu Braunu trebalo da unovci cek, medjutim zbunio se i umesto dolara je isplatio cente a umesto centi je isplatio dolare. Nakon toga od isplacenog novca gospodin Braun je kupio novine za 5 centi i posle toga je imao duplo vise novca nego sto je trebalo da ima da je blagajnik isplatio kako treba. Koja je suma bila na ceku?

 

[veljazlee]

1. У продавници воћа продавац је требало да на кутији у којој се налазе јабуке, залепи

натпис ЈАБУКЕ, затим у кутији где се налазе крушке залепи натпис КРУШКЕ, а на

кутији у којој се налазе и јабуке и крушке залепи натпис МЕШАНО. Међутим он се

напио и све је побркао, залепио је натписе тако да је свуд погрешио. Како после

једног извлачења воћке правилно распоредити натписе?

 

[iskaz]

Simpa zadatak!

Potrebno je voćku izvući iz kutije u kojoj se sigurno ne nalaze mešana voća (jer izvlačenjem bilo koje voćke iz „mešane“ kutije ne bismo saznali ništa novo). Kutija na kojoj piše MEŠANO je upravo jedna od one dve na kojoj se NE nalaze mešana voća (zbog toga što se na svakoj kutiji, pa i na toj, nalazi pogrešan natpis). Prema tome, voćku treba izvaditi iz kutije na kojoj piše MEŠANO.
– Ako izvučemo jabuku, znači da je to kutija s jabukama, pa na nju prebacujemo natpis JABUKE; kutija na kojoj stoji natpis KRUŠKE sigurno ne sadrži kruške (jer se i na njoj mora nalaziti pogrešan natpis), a ne sadrži ni jabuke, jer smo kutiju s jabukama već pronašli, što znači da sadrži mešana voća, tako da na nju prebacujemo natpis MEŠANO, a na onu preostalu kutiju stavljamo natpis KRUŠKE.
– Ako izvučemo krušku, znači da je to kutija s kruškama, pa na nju prebacujemo natpis KRUŠKE; kutija na kojoj stoji natpis JABUKE sigurno ne sadrži jabuke (jer se i na njoj mora nalaziti pogrešan natpis), a ne sadrži ni kruške, jer smo kutiju s kruškama već pronašli, što znači da sadrži mešana voća, tako da na nju prebacujemo natpis MEŠANO, a na onu preostalu kutiju stavljamo natpis JABUKE.

 

[iskaz]

Blagajnik je gospodinu Braunu trebalo da unovci cek, medjutim zbunio se i umesto dolara je isplatio cente a umesto centi je isplatio dolare. Nakon toga od isplacenog novca gospodin Braun je kupio novine za 5 centi i posle toga je imao duplo vise novca nego sto je trebalo da ima da je blagajnik isplatio kako treba. Koja je suma bila na ceku?

Označimo sa x broj dolara, a sa y broj centi na iznosu koji je trebalo da bude isplaćen. Sa d obeležimo vrednost dolara, a sa c vrednost centa.
Iznos koji je trebalo da bude isplaćen iznosi xc+yd.
Iznos koji je blagajnik greškom isplatio iznosi xc+yd.
Iz podataka u zadatku moguće je postaviti jednačinu:

xc+yd-5c=2(xd+yc)

pri čemu je

d=100c

Uvrstimo u prvu jednačinu d iz druge jednačine:

xc+100yc-5c=2(100xc+yc)

Skratimo obe strane sa c:

x+100y-5=200x+2y

199x+5=98y

y=(199x+5)/98

I x i y su prirodni brojevi, a iz činjenice da je y prirodni broj, kao i iz prethodne jednačine, sledi da 199x+5 mora biti deljiv sa 98, tj. da je

199x+5=98k,

gde je k ceo broj.

Taj izraz se može napisati i kao

2⋅98x+3x+5=98k,

iz čega sledi da mora biti 3x+5 deljivo sa 98, tj.

3x+5=98k
3x=98k-5
3x=9⋅11k-k-5
3x=9⋅11k-(k+5)

Odavde sledi da k+5 mora biti deljivo sa 3, tj. da je k+5=3m (gde je m ceo broj), tj. da je k oblika k=3m-5. Uvrštavanjem ove jednakosti u 3x+5=98k, dobijamo:

3x+5=98(3m-5)
3x+5=3⋅98m-98⋅5
3x=3⋅98m-99⋅5 /:3
x=98m-33⋅5
x=98m-165
x=98m-196+31
x=98(m-2)+31

Zamenom (m-2) sa k (pošto i jedan i drugi predstavljaju bilo koji ceo broj), dobijamo:

x=98k+31

a na osnovu jednačine y=(199x+5)/98 nađemo i y:

y=[199(98k+31)+5]/98
y=(199⋅98k+199⋅31+5)/98
y=(199⋅98k+199⋅31+5)/98
y=(199⋅98k+6174)/98
y=199k+63

Znači, zadatak ima beskonačno mnogo rešenja po x i y, pri čemu, ipak, x i y treba da zadovolje sledeće uslove:
x=98k+31
y=199k+63
gde je k ceo broj, međutim, pošto i x i y moraju biti pozitivni, u ovom slučaju je k prirodan broj, uključujući i nulu.

PROVERA:

k=0:
x=31
y=63
Trebalo je da bude isplaćeno 31 dolar i 63 centa (ukupno 3163 centa), a isplaćeno je 63 dolara i 31 cent (ukupno 6331 cent). Od tog 6331 centa g. Braun je kupio novine za 5 centi i ostalo mu je 6326 centi, što je 2x više od 3163 centa, koliko bi mu bilo isplaćeno da nije došlo do greške.

k=1:
x=129
y=262
Trebalo je da bude isplaćeno 129 dolara i 262 centa (ukupno 13162 centa), a isplaćeno je 262 dolara i 129 centi (ukupno 26329 centi). Od tih 26329 centi g. Braun je kupio novine za 5 centi i ostalo mu je 26324 centa, što je 2x više od 13162 centa, koliko bi mu bilo isplaćeno da nije došlo do greške.

...

k=100:
x=9831
y=19963
Trebalo je da bude isplaćeno 9831 dolar i 19963 centa (ukupno 1003063 centa), a isplaćeno je 19963 dolara i 9831 cent (ukupno 2006131 cent). Od tog 2006131 centa g. Braun je kupio novine za 5 centi i ostalo mu je 2006126 centi, što je 2x više od 1003063 centa, koliko bi mu bilo isplaćeno da nije došlo do greške.

...