U cetvrtak imam pismeni iz matematike , kompleksni brojevi

[mladi ucenik]

Nikako da shvatim kako a uradim ovih 8 zadatka pa ako mozete da mi pomognete i uraite mi ,hvala unaprijed.

1. Ako je |Z1|= |Z[SUB]2[/SUB]|=1 dokazati da je (Z1+Z2)/(1+Z1*Z2) realan broj.
2.Naci sve druge korjene broja korijen iz -2.
3.Neka je |Z1|=|Z2|=|Z3| dokazati da u tacke Z1,Z2,Z3 tjemena jednakotranicnog trougla ako i samo ako je Z1+Z2+Z3=0
4.Naci kompleksan broj Z=x+iy koji zadovoljava sljedece uslove |(16Z+1)/(4*Z|=4 i Re(2Z/Z)=1 (z je z konjugovano)
5.Naci najmanju vrijednost |Z| za koju je |Z+4-3i|=1
6.Naci kompleksan broj z=x+iy koji zadovoljava uslov |Z-4|/|Z-6-5i|=2 i |Z-1+4i|/|Z-8i|=3/2
7.Izracunati (1+i)[SUP]n[/SUP]/(1-i)[SUP]n-2[/SUP]
8.Naci kup tacaka koji zadovoljavaju uslov Im(Z-Z1/Z-Z2)=0

 

[iskaz]

1. Ako je |Z[SUB]1[/SUB]|= |Z[SUB]2[/SUB]|=1 dokazati da je (Z[SUB]1[/SUB]+Z[SUB]2[/SUB])/(1+Z[SUB]1[/SUB]⋅Z[SUB]2[/SUB]) realan broj.

Pošto su moduli ova dva kompleksna broja jedinice, te kompleksne brojeve možemo pisati u obliku
z[SUB]1[/SUB] = e[SUP]iφ[SUB]1[/SUB][/SUP] i z[SUB]2[/SUB] = e[SUP]iφ[SUB]2[/SUB][/SUP]

(Z[SUB]1[/SUB]+Z[SUB]2[/SUB])/(1+Z[SUB]1[/SUB]⋅Z[SUB]2[/SUB]) = (e[SUP]iφ1[/SUP] + e[SUP]iφ2[/SUP])/(1 + e[SUP]iφ1[/SUP]⋅e[SUP]iφ2[/SUP]) = (e[SUP]iφ1[/SUP] + e[SUP]iφ2[/SUP])/[1 + e[SUP]i(φ1+φ2)[/SUP]] =
= (cos φ[SUB]1[/SUB] + isin φ[SUB]1[/SUB] + cos φ[SUB]2[/SUB] + isin φ[SUB]2[/SUB])/[1 + cos(φ[SUB]1[/SUB]+φ[SUB]2[/SUB]) + isin(φ[SUB]1[/SUB]+φ[SUB]2[/SUB])] =
= [cos φ[SUB]1[/SUB] + cos φ[SUB]2[/SUB] + i(sin φ[SUB]1[/SUB] + sin φ[SUB]2[/SUB])]/[1 + cos(φ[SUB]1[/SUB]+φ[SUB]2[/SUB]) + isin(φ[SUB]1[/SUB]+φ[SUB]2[/SUB])]

Nakon racionalizacije, tj. množenja i brojioca i imenioca s [1 + cos (φ[SUB]1[/SUB]+φ[SUB]2[/SUB]) - isin(φ[SUB]1[/SUB]+φ[SUB]2[/SUB])], u brojiocu ćemo imati

[cos φ[SUB]1[/SUB] + cos φ[SUB]2[/SUB] + i(sin φ[SUB]1[/SUB] + sin φ[SUB]2[/SUB])]⋅[1 + cos(φ[SUB]1[/SUB]+φ[SUB]2[/SUB]) - isin(φ[SUB]1[/SUB]+φ[SUB]2[/SUB])] =
= (neki realan deo) + i{(sin φ[SUB]1[/SUB] + sin φ[SUB]2[/SUB])[1 + cos(φ[SUB]1[/SUB]+φ[SUB]2[/SUB])]-(cos φ[SUB]1[/SUB] + cos φ[SUB]2[/SUB])sin(φ[SUB]1[/SUB]+φ[SUB]2[/SUB])}

Sada treba dokazati da je (sin φ[SUB]1[/SUB] + sin φ[SUB]2[/SUB])[1 + cos(φ[SUB]1[/SUB]+φ[SUB]2[/SUB])]-(cos φ[SUB]1[/SUB] + cos φ[SUB]2[/SUB])sin(φ[SUB]1[/SUB]+φ[SUB]2[/SUB]), tj. imaginaran deo, jednak nuli.

(sin φ[SUB]1[/SUB] + sin φ[SUB]2[/SUB])[1 + cos(φ[SUB]1[/SUB]+φ[SUB]2[/SUB])]-(cos φ[SUB]1[/SUB] + cos φ[SUB]2[/SUB])sin(φ[SUB]1[/SUB]+φ[SUB]2[/SUB]) = 0

(sin φ[SUB]1[/SUB] + sin φ[SUB]2[/SUB])[1 + cos(φ[SUB]1[/SUB]+φ[SUB]2[/SUB])] = (cos φ[SUB]1[/SUB] + cos φ[SUB]2[/SUB])sin(φ[SUB]1[/SUB]+φ[SUB]2[/SUB])

(sin φ[SUB]1[/SUB] + sin φ[SUB]2[/SUB])(1 + cos φ[SUB]1[/SUB] cos φ[SUB]2[/SUB] - sin φ[SUB]1[/SUB] sin φ[SUB]2[/SUB]) = (cos φ[SUB]1[/SUB] + cos φ[SUB]2[/SUB])(sin φ[SUB]1[/SUB] cos φ[SUB]2[/SUB] + cos φ[SUB]1[/SUB] sin φ[SUB]2[/SUB])

sin φ[SUB]1[/SUB] + sin φ[SUB]1[/SUB] cos φ[SUB]1[/SUB] cos φ[SUB]2[/SUB] - sin[SUP]2[/SUP]φ[SUB]1[/SUB] sin φ[SUB]2[/SUB] + sin φ[SUB]2[/SUB] + sin φ[SUB]2[/SUB] cos φ[SUB]1[/SUB] cos φ[SUB]2[/SUB] - sin φ[SUB]1[/SUB] sin[SUP]2[/SUP]φ[SUB]2[/SUB] =
= cos φ[SUB]1[/SUB] sin φ[SUB]1[/SUB] cos φ[SUB]2[/SUB] + cos[SUP]2[/SUP]φ[SUB]1[/SUB] sin φ[SUB]2[/SUB] + sin φ[SUB]1[/SUB] cos[SUP]2[/SUP]φ[SUB]2[/SUB] + cos φ[SUB]2[/SUB] cos φ[SUB]1[/SUB] sin φ[SUB]2[/SUB]

Posle kraćenja jednakih sabiraka s leve i desne strane:

sin φ[SUB]1[/SUB] - sin[SUP]2[/SUP]φ[SUB]1[/SUB] sin φ[SUB]2[/SUB] + sin φ[SUB]2[/SUB] - sin φ[SUB]1[/SUB] sin[SUP]2[/SUP]φ[SUB]2[/SUB] = cos[SUP]2[/SUP]φ[SUB]1[/SUB] sin φ[SUB]2[/SUB] + sin φ[SUB]1[/SUB] cos[SUP]2[/SUP]φ[SUB]2[/SUB]

sin φ[SUB]1[/SUB] + sin φ[SUB]2[/SUB] = cos[SUP]2[/SUP]φ[SUB]1[/SUB] sin φ[SUB]2[/SUB] + sin[SUP]2[/SUP]φ[SUB]1[/SUB] sin φ[SUB]2[/SUB] + sin φ[SUB]1[/SUB] cos[SUP]2[/SUP]φ[SUB]2[/SUB] + sin φ[SUB]1[/SUB] sin[SUP]2[/SUP]φ[SUB]2[/SUB]

sin φ[SUB]1[/SUB] + sin φ[SUB]2[/SUB] = sin φ[SUB]2[/SUB](cos[SUP]2[/SUP]φ[SUB]1[/SUB] + sin[SUP]2[/SUP]φ[SUB]1[/SUB]) + sin φ[SUB]1[/SUB](cos[SUP]2[/SUP]φ[SUB]2[/SUB] + sin[SUP]2[/SUP]φ[SUB]2[/SUB])

sin φ[SUB]1[/SUB] + sin φ[SUB]2[/SUB] = sin φ[SUB]1[/SUB] + sin φ[SUB]2[/SUB]

čime je dokazana pretpostavka da je imaginarni deo jednak nuli.

 

[iskaz]

2.Naci sve druge korjene broja korijen iz -2.

√(-2) može imati dve kompleksne vrednosti:
(-2) možemo pisati kao 2⋅e[SUP]iπ+2kπ[/SUP], pa će √(-2) biti:
√(-2) = (-2)[SUP]½[/SUP] = (2⋅e[SUP]iπ+2kπ[/SUP])[SUP]½[/SUP] = 2[SUP]½[/SUP]⋅e[SUP]iπ/2+kπ[/SUP]
(to su vrednosti ±i√2)

Drugi koreni tog broja će biti:
(2[SUP]½[/SUP]⋅e[SUP]iπ/2+kπ[/SUP])[SUP]½[/SUP] = 2[SUP]¼[/SUP]⋅e[SUP]iπ/4+kπ/2[/SUP]
a to su vrednosti
2[SUP]¼[/SUP]⋅e[SUP]iπ/4[/SUP] = 2[SUP]¼[/SUP](cos π/4 + isin π/4) = 2[SUP]¼[/SUP](1/√2+i⋅1/√2) = 2[SUP]-¼[/SUP](1+i)
2[SUP]¼[/SUP]⋅e[SUP]i3π/4[/SUP] = 2[SUP]¼[/SUP](cos 3π/4 + isin 3π/4) = 2[SUP]¼[/SUP](-1/√2+i⋅1/√2) = 2[SUP]-¼[/SUP](-1+i)
2[SUP]¼[/SUP]⋅e[SUP]i5π/4[/SUP] = 2[SUP]¼[/SUP](cos 5π/4 + isin 5π/4) = 2[SUP]¼[/SUP](-1/√2-i⋅1/√2) = 2[SUP]-¼[/SUP](-1-i)
2[SUP]¼[/SUP]⋅e[SUP]i7π/4[/SUP] = 2[SUP]¼[/SUP](cos 7π/4 + isin 7π/4) = 2[SUP]¼[/SUP](1/√2-i⋅1/√2) = 2[SUP]-¼[/SUP](1-i)

 

[iskaz]

3.Neka je |Z1|=|Z2|=|Z3| dokazati da u tacke Z1,Z2,Z3 tjemena jednakotranicnog trougla ako i samo ako je Z1+Z2+Z3=0

Ove brojeve možemo pisati kao
z[SUB]1[/SUB]=|z|e[SUP]iφ[SUB]1[/SUB][/SUP]
z[SUB]2[/SUB]=|z|e[SUP]iφ[SUB]2
[/SUB][/SUP]z[SUB]3[/SUB]=|z|e[SUP]iφ[SUB]3[/SUB][/SUP]
Pošto su moduli ovih kompleksnih brojeva jednaki, oni svi pripadaju istoj kružnici čiji je centar u koordinatnom početku kompleksne ravni, a poluprečnik jednak modulima tih kompleksnih brojeva. Pošto su u jednakostraničnom trouglu uglovi između duži koje spajaju centar trougla s temenima jednaki 2π/3, to znači, da bi ova tri kompleksna broja bila temena jednakostraničnog trougla, razlike njihovih argumenata moraju biti 2π/3, tj.
φ[SUB]2[/SUB] = φ[SUB]1[/SUB] + 2π/3
φ[SUB]3[/SUB] = φ[SUB]1[/SUB] + 4π/3

z[SUB]1 [/SUB]+ z[SUB]2[/SUB] + z[SUB]3[/SUB] = |z|e[SUP]iφ[SUB]1[/SUB][/SUP] + |z|e[SUP]iφ[SUB]2[/SUB][/SUP] + |z|e[SUP]iφ[SUB]3[/SUB][/SUP] = |z|(e[SUP]iφ[SUB]1[/SUB][/SUP] + e[SUP]iφ[SUB]2[/SUB][/SUP] + e[SUP]iφ[SUB]3[/SUB][/SUP]) =
= |z|(e[SUP]iφ[SUB]1[/SUB][/SUP] + e[SUP]i(φ[SUB]1[/SUB]+2π/3[SUB])[/SUB][/SUP] + e[SUP]i(φ[SUB]1[/SUB]+4π/3[SUB])[/SUB][/SUP]) =|z|e[SUP]iφ[SUB]1[/SUB][/SUP](1+e[SUP]i2π/3[/SUP]+e[SUP]i4π/3[/SUP]) =
= |z|e[SUP]iφ[SUB]1[/SUB][/SUP][1+cos(2π/3)+isin(2π/3)+cos(4π/3)+isin(4π/3)] =
= |z|e[SUP]iφ[SUB]1[/SUB][/SUP][1-1/2+i(√3)/2-1/2-i(√3)/2] = 0

 

[iskaz]

Evo još ovaj i toliko od mene... zasad...

7.Izracunati (1+i)[SUP]n[/SUP]/(1-i)[SUP]n-2

[/SUP]Pošto je modul broja 1+i jednak √2 a argument mu je π/4, možemo ga pisati kao √2⋅e[SUP]iπ/4[/SUP]
Na isti način, 1-i možemo pisati kao √2⋅e[SUP]-iπ/4[/SUP]
Pa će izraz koji tražimo postati:
(1+i)[SUP]n[/SUP]/(1-i)[SUP]n-2[/SUP] = (√2⋅e[SUP]iπ/4[/SUP])[SUP]n[/SUP]/(√2⋅e[SUP]-iπ/4[/SUP])[SUP]n-2[/SUP] = 2[SUP]n/2-(n-2)/2[/SUP]⋅e[SUP]i(nπ/4+(n-2)π/4)[/SUP] = 2⋅e[SUP]i(n-1)π/2[/SUP]

(Ovde se malo teže uočava razlika između broja n i broja π (PI), ali ne daj se zbuniti.)

 

[iskaz]

Evo i ovaj:

8.Naci kup tacaka koji zadovoljavaju uslov Im(Z-Z1/Z-Z2)=0

z = x + iy

(Z-Z[SUB]1[/SUB])/(Z-Z[SUB]2[/SUB]) = (x + iy - x[SUB]1 [/SUB]- iy[SUB]1[/SUB])/(x + iy - x[SUB]2 [/SUB]- iy[SUB]2[/SUB]) = [x - x[SUB]1[/SUB] + i(y- y[SUB]1[/SUB])]/[x - x[SUB]2 [/SUB]+ i(y - y[SUB]2[/SUB])]

Sad racionalizujemo, tj. pomnožimo sa konjugovano-kompleksnim parom kompleksnog broja u imeniocu. U imeniocu ćemo dobiti realan broj, a u brojiocu ćemo dobiti izraz:

[x - x[SUB]1[/SUB] + i(y- y[SUB]1[/SUB])]⋅[x - x[SUB]2 [/SUB]- i(y - y[SUB]2[/SUB])]

Kad to izmnožimo, dobićemo:

(neki realan deo) + i[(x - x[SUB]2[/SUB])(y- y[SUB]1[/SUB])-(x - x[SUB]1[/SUB])(y - y[SUB]2[/SUB])]

Po uslovu zadatka, ovo što je u uglastoj zagradi (imaginarni deo) treba da bude 0.

(x - x[SUB]2[/SUB])(y- y[SUB]1[/SUB])-(x - x[SUB]1[/SUB])(y - y[SUB]2[/SUB]) = 0

xy - x[SUB]2[/SUB]y - xy[SUB]1[/SUB] + x[SUB]2[/SUB]y[SUB]1[/SUB] - xy + x[SUB]1[/SUB]y + xy[SUB]2[/SUB] - x[SUB]1[/SUB]y[SUB]2[/SUB] = 0

Kad se to sračuna, dobije se

(y[SUB]2[/SUB] - y[SUB]1[/SUB])x + (x[SUB]1[/SUB] - x[SUB]2[/SUB])y = x[SUB]1[/SUB]y[SUB]2 [/SUB]- x[SUB]2[/SUB]y[SUB]1[/SUB]

tj.

(x[SUB]1[/SUB] - x[SUB]2[/SUB])y = (y[SUB]1[/SUB] - y[SUB]2[/SUB])x + x[SUB]1[/SUB]y[SUB]2 [/SUB]- x[SUB]2[/SUB]y[SUB]1[/SUB]

y = [(y[SUB]1[/SUB] - y[SUB]2[/SUB])x + x[SUB]1[/SUB]y[SUB]2 [/SUB]- x[SUB]2[/SUB]y[SUB]1[/SUB]]/(x[SUB]1[/SUB] - x[SUB]2[/SUB])

što odgovara linearnoj funkciji.