- Učlanjen(a)
- 04.10.2009
- Poruka
- 5.207
Paralelogram i četverougao ( zadaci )
1. Simetrala tupog ugla romba određuje sa drugom stranicom romba ugao od 72o. Izračunati uglove romba.
2. Visina polovi stranicu romba. Izračunati ugao između visina koje sadrže teme tupog ugla romba.
3. Dokazati da su središta stranica pravougaonika temena romba.
4. Normala iz temena na dijagonalu pravougaonika deli dijagonalu u odnosu 1:3. Izračunati ugao između dijagonala.
5. U paralelogramu ABCD tačka M je središte stranice BC, a tačka N je središte stranice CD. Dokazati da prave AM i AN dele dijagonalu BD na tri jednaka dela.
6. Presek dijagonala paralelograma jednako je udaljen od naspramnih strana paralelo-grama. Dokazati.
Stranice AB i CD paralelograma ABCD produžene su do tačaka B' i D' tako da je BB' = DD' (A-B-B' i C-D-D'). Dokazati da je AB'CD' paralelogram .
7.Dat je pravougaonik ABCD (AB > BC). Tačka B' je simetrična tački B u odnosu na dijagonalu AC. Dokazati:
a) Ugao AB'C je prav.
b) Ako je AB' Ç CD = {E}, tada je trougao ACE jednakokrak.
8.Dokazati da su presečne tačke simetrala unutrašnjih uglova pravougaonika, temena paralelograma.
9.Simetrale spoljašnjih uglova romba seku se u tačkama P, Q, R i S. Kakav je četvorougao PQRS ?
10. Oštrougli trougao ABC ima ortocentar H. Tačke M, N, P i Q su redom središta duži BH, CH, AC i AB. Dokazati da je MNPQ pravougaonik.
11.Dat je pravougaonik KLMN, tačka P unutar i tačka Q izvan pravougaonika, tako da su trouglovi LMP i MNQ jednakostranični.
Dokazati da je duž PQ podudarna dijagonali pravougaonika
12. Iz proizvoljne tačke M na osnovici AB jednakokrakog trougla ABC konstruisane su normale MP i MQ na krake AC i BC. Dokazati da je zbir duži MP + MQ konstantna veličina .
13. Dat je trougao ABC i tačka D na stranici AB takva da je CD visina, težišna duž ili simetrala ugla. Dokazati da ako CD ima dve od navedenih osobina da onda ima i treću.
14. Simetrala unutrašnjeg ugla paralelograma seče jednu njegovu stranicu pod uglom koji je jednak jednom od uglova paralelograma. Izračunati uglove paralelograma .
15. Ako su dijagonale četvorougla jednake i polove se, onda je taj četvorougao pravougaonik. Dokazati.
16. Simetrale unutrašnjih uglova pravougaonika seku se u temenima kvadrata. Dokazati.
----------------------------------------------------------------------------------
1. Jednakokraki trapez ABCD (AB || CD i AB>CD), dijagonalom AC je podeljen na dva jednakokraka trougla. Izračunati uglove trapeza.
2. Temena osnovice jednakokrakog trougla i preseci simetrala uglova na osnovici sa kracima, predstavljaju temena trapeza koji ima tri jednake stranice. Dokazati.
3. Zbir uglova na manjoj osnovici trapeza veći je od zbira uglova na većoj osnovici. Dokazati.
4. Dokazati da su središta stranica jednakokrakog trapeza temena romba.
5. Tačke E i F su središta stranica AB i CD četvorougla ABCD. Dokazati da su središta duži AF,BF,CE i DE temena paralelograma.
6. U četvorouglu MNPQ tačke A,B,C i D su središta uzastopnih stranica, a tačke R i S su središta dijagonala. Dokazati da je: DBCR @ DADS i DADR @ DBCS.
7. Dokazati da su središta stranica i podnožje bilo koje visine u trouglu temena jednakokrakog trapeza.
8. U jednakokrakom trapezu odstojanje jednog kraja osnovice od naspramnog kraka je dva puta manje od veće osnovice. Izračunati uglove tog trapeza.
9. Nad stranicama trougla ABC konstruisani su spolja kvadrati. Dokazati da je rastojanje centara dva kvadrata sa zajedničkim temenom B jednako rastojanju od temena B do centra trećeg kvadrata.
10. Dat je pravougli trougao ABC. Nad katetama AC i BC van trougla konstruisani su kvadrati CDEA i CBFK. Dokazati: a) Tačke C,E i F su kolinearne; b) Ako su CC', EE' i FF' normale na pravu AB, onda je EE'= AC' i FF'= BC'.
11. U ravni trougla ABC, van trougla konstruisani su kvadra*ti ABDE i ACFG. Neka je CE Ç BG = íHý . Dokazati da je CE = BG i CE normalno na BG.
12. Dat je trougao ABC. Neka su M,N i P središta stranica BC,CA i AB i D proizvoljna tačka na stranici BC. Neka su E i F središta duži BD i CD i AD Ç NP ={Q}. Dokazati da je četvorougao EFNP paralelogram čije se dijagonale seku na duži MQ.
13. U pravougaoniku ABCD tačka N je podnožje normale iz tačke B na dijagonalu AC; tačka S je središte duži AN i tačka M je središte duži CD. Dokazati da je Ð BSM = 90o.
14. Dijagonale AC i BD jednakokrakog trapeza ABCD (AB || CD) seku se u tački O pod uglom od 60o. Dokazati da su središta duži AO,OD i BC temena jednakostraničnog trougla.
15. Ako dijagonale trapeza polove uglove na jednoj osnovici, onda je trapez jednakokraki i ima tri jednake stranice. Dokazati.
16. Dokazati da je u konveksnom četvorouglu zbir dva spoljašnja ugla jednak zbiru dva unutrašnja ugla koji su nesusedni sa tim spoljašnjim uglovima.
17. Dijagonale dva pravougaonika od kojih je jedan upisan u drugi seku se u jednoj tački. Dokazati.
1. Simetrala tupog ugla romba određuje sa drugom stranicom romba ugao od 72o. Izračunati uglove romba.
2. Visina polovi stranicu romba. Izračunati ugao između visina koje sadrže teme tupog ugla romba.
3. Dokazati da su središta stranica pravougaonika temena romba.
4. Normala iz temena na dijagonalu pravougaonika deli dijagonalu u odnosu 1:3. Izračunati ugao između dijagonala.
5. U paralelogramu ABCD tačka M je središte stranice BC, a tačka N je središte stranice CD. Dokazati da prave AM i AN dele dijagonalu BD na tri jednaka dela.
6. Presek dijagonala paralelograma jednako je udaljen od naspramnih strana paralelo-grama. Dokazati.
Stranice AB i CD paralelograma ABCD produžene su do tačaka B' i D' tako da je BB' = DD' (A-B-B' i C-D-D'). Dokazati da je AB'CD' paralelogram .
7.Dat je pravougaonik ABCD (AB > BC). Tačka B' je simetrična tački B u odnosu na dijagonalu AC. Dokazati:
a) Ugao AB'C je prav.
b) Ako je AB' Ç CD = {E}, tada je trougao ACE jednakokrak.
8.Dokazati da su presečne tačke simetrala unutrašnjih uglova pravougaonika, temena paralelograma.
9.Simetrale spoljašnjih uglova romba seku se u tačkama P, Q, R i S. Kakav je četvorougao PQRS ?
10. Oštrougli trougao ABC ima ortocentar H. Tačke M, N, P i Q su redom središta duži BH, CH, AC i AB. Dokazati da je MNPQ pravougaonik.
11.Dat je pravougaonik KLMN, tačka P unutar i tačka Q izvan pravougaonika, tako da su trouglovi LMP i MNQ jednakostranični.
Dokazati da je duž PQ podudarna dijagonali pravougaonika
12. Iz proizvoljne tačke M na osnovici AB jednakokrakog trougla ABC konstruisane su normale MP i MQ na krake AC i BC. Dokazati da je zbir duži MP + MQ konstantna veličina .
13. Dat je trougao ABC i tačka D na stranici AB takva da je CD visina, težišna duž ili simetrala ugla. Dokazati da ako CD ima dve od navedenih osobina da onda ima i treću.
14. Simetrala unutrašnjeg ugla paralelograma seče jednu njegovu stranicu pod uglom koji je jednak jednom od uglova paralelograma. Izračunati uglove paralelograma .
15. Ako su dijagonale četvorougla jednake i polove se, onda je taj četvorougao pravougaonik. Dokazati.
16. Simetrale unutrašnjih uglova pravougaonika seku se u temenima kvadrata. Dokazati.
----------------------------------------------------------------------------------
1. Jednakokraki trapez ABCD (AB || CD i AB>CD), dijagonalom AC je podeljen na dva jednakokraka trougla. Izračunati uglove trapeza.
2. Temena osnovice jednakokrakog trougla i preseci simetrala uglova na osnovici sa kracima, predstavljaju temena trapeza koji ima tri jednake stranice. Dokazati.
3. Zbir uglova na manjoj osnovici trapeza veći je od zbira uglova na većoj osnovici. Dokazati.
4. Dokazati da su središta stranica jednakokrakog trapeza temena romba.
5. Tačke E i F su središta stranica AB i CD četvorougla ABCD. Dokazati da su središta duži AF,BF,CE i DE temena paralelograma.
6. U četvorouglu MNPQ tačke A,B,C i D su središta uzastopnih stranica, a tačke R i S su središta dijagonala. Dokazati da je: DBCR @ DADS i DADR @ DBCS.
7. Dokazati da su središta stranica i podnožje bilo koje visine u trouglu temena jednakokrakog trapeza.
8. U jednakokrakom trapezu odstojanje jednog kraja osnovice od naspramnog kraka je dva puta manje od veće osnovice. Izračunati uglove tog trapeza.
9. Nad stranicama trougla ABC konstruisani su spolja kvadrati. Dokazati da je rastojanje centara dva kvadrata sa zajedničkim temenom B jednako rastojanju od temena B do centra trećeg kvadrata.
10. Dat je pravougli trougao ABC. Nad katetama AC i BC van trougla konstruisani su kvadrati CDEA i CBFK. Dokazati: a) Tačke C,E i F su kolinearne; b) Ako su CC', EE' i FF' normale na pravu AB, onda je EE'= AC' i FF'= BC'.
11. U ravni trougla ABC, van trougla konstruisani su kvadra*ti ABDE i ACFG. Neka je CE Ç BG = íHý . Dokazati da je CE = BG i CE normalno na BG.
12. Dat je trougao ABC. Neka su M,N i P središta stranica BC,CA i AB i D proizvoljna tačka na stranici BC. Neka su E i F središta duži BD i CD i AD Ç NP ={Q}. Dokazati da je četvorougao EFNP paralelogram čije se dijagonale seku na duži MQ.
13. U pravougaoniku ABCD tačka N je podnožje normale iz tačke B na dijagonalu AC; tačka S je središte duži AN i tačka M je središte duži CD. Dokazati da je Ð BSM = 90o.
14. Dijagonale AC i BD jednakokrakog trapeza ABCD (AB || CD) seku se u tački O pod uglom od 60o. Dokazati da su središta duži AO,OD i BC temena jednakostraničnog trougla.
15. Ako dijagonale trapeza polove uglove na jednoj osnovici, onda je trapez jednakokraki i ima tri jednake stranice. Dokazati.
16. Dokazati da je u konveksnom četvorouglu zbir dva spoljašnja ugla jednak zbiru dva unutrašnja ugla koji su nesusedni sa tim spoljašnjim uglovima.
17. Dijagonale dva pravougaonika od kojih je jedan upisan u drugi seku se u jednoj tački. Dokazati.