- Učlanjen(a)
- 04.10.2009
- Poruka
- 5.207
Odnos stranica i uglova
1. U U pravouglom trouglu stranica koja leži naspram pravog ugla zove se hipotenuza, a stranice koje se nalaze naspram oštrih uglova su katete. Dokazati da je hipotenuza veća od obe katete pojedinačno, a manja od njihovog zbira.
2. Dokazati da je svaka stranica trougla manja od poluobima tog trougla.
3. Odrediti sve trouglove čiji je obim 10 cm, a merni brojevi stranica su celi brojevi.
4. Ako su a, b i c merni brojevi stranica trougla i ako je a ³ b ³ c, onda je potreban i dovoljan uslov da trougao postoji b + c > a. Dokazati.
5. Normala konstruisana iz jednog temena trougla na naspramnu stranicu naziva se visina
trougla. Dokazati da je visina trougla manja ili jednaka od svake stranice sa kojom ima zajedničko teme.
6. Simetrale uglova trougla AVS seku se u tački M. Dokazati da je tačka M najbliža temenu najvećeg ugla.
7. Simetrala unutrašnjeg ugla trougla deli naspramnu stranicu na dva dela. Dokazati da je
svaki od tih delova manji od susedne stranice.
8. U jednakokrakom trouglu AVS ( AS = AV) osnovica VS je produžena preko temena S do
proizvoljne tačke D. Dokazati da je Ð AVS > Ð ADC .
9. Duž koja povezuje teme sa sredinom naspramne strane naziva se težišna duž trougla.
Neka je dat trougao AVS i neka je D presek simetrale ugla ASV sa stranicom AV, a E središte duži AE. Dokazati da je težišna duč SE veća od simetralne duži CD.
10. Dokazati da je svaka težišna duž trougla manja od: a) poluobima trougla ; b) poluzbira
stranica koje polaze iz istog temena sa težišnom duži.
11. Zbir svih visina trougla uvek je manji od obima tog trougla. Dokazati.
12. Dokazati da je zbir težišnih duži trougla veći od poluobima, a manji od obima trougla.
13. U unutrašnjoj oblasti trougla AVS data je tačka M. Dokazati da važe nejednakosti: Ð AMV > Ð ASV
14. U unutrašnjoj oblasti trougla AVS data je tačka M. Dokazati da je zbir duži AM + VM + SM veći od poluobima, a manji od obima trougla AVS.
15. Na simetrali spoljašnjeg ugla kod temena C trougla AVS izabrana je proizvoljna tačka M. Dokazati da je MA + MV > AS + VS.
16. Data je kružnica k i na njoj tri tačke A, V i S. Ako je O centar kruga i Ð ASV = j , onda je Ð AOV = 2j .
17. Nad duži AV kao prečnikom konstruisana je kružnica k. Neka je M proizvoljna tačka na toj kružnici k. Dokazati da je Ð AMV = 90° .
18. Hipotenuza pravouglog trougla je dva puta veća od katete tog trougla. Izračunati uglove tog trougla.
----------------------------------------------------------------------------------------
ZADACI ZA UVEŽBAVANJE
2. Dokazati da je svaka stranica trougla manja od poluobima tog trougla.
3. Odrediti sve trouglove čiji je obim 10 cm, a merni brojevi stranica su celi brojevi.
4. Ako su a, b i c merni brojevi stranica trougla i ako je a ³ b ³ c, onda je potreban i dovoljan uslov da trougao postoji b + c > a. Dokazati.
5. Normala konstruisana iz jednog temena trougla na naspramnu stranicu naziva se visina
trougla. Dokazati da je visina trougla manja ili jednaka od svake stranice sa kojom ima zajedničko teme.
6. Simetrale uglova trougla AVS seku se u tački M. Dokazati da je tačka M najbliža temenu najvećeg ugla.
7. Simetrala unutrašnjeg ugla trougla deli naspramnu stranicu na dva dela. Dokazati da je
svaki od tih delova manji od susedne stranice.
8. U jednakokrakom trouglu AVS ( AS = AV) osnovica VS je produžena preko temena S do
proizvoljne tačke D. Dokazati da je Ð AVS > Ð ADC .
9. Duž koja povezuje teme sa sredinom naspramne strane naziva se težišna duž trougla.
Neka je dat trougao AVS i neka je D presek simetrale ugla ASV sa stranicom AV, a E središte duži AE. Dokazati da je težišna duč SE veća od simetralne duži CD.
10. Dokazati da je svaka težišna duž trougla manja od: a) poluobima trougla ; b) poluzbira
stranica koje polaze iz istog temena sa težišnom duži.
11. Zbir svih visina trougla uvek je manji od obima tog trougla. Dokazati.
12. Dokazati da je zbir težišnih duži trougla veći od poluobima, a manji od obima trougla.
13. U unutrašnjoj oblasti trougla AVS data je tačka M. Dokazati da važe nejednakosti: Ð AMV > Ð ASV
14. U unutrašnjoj oblasti trougla AVS data je tačka M. Dokazati da je zbir duži AM + VM + SM veći od poluobima, a manji od obima trougla AVS.
15. Na simetrali spoljašnjeg ugla kod temena C trougla AVS izabrana je proizvoljna tačka M. Dokazati da je MA + MV > AS + VS.
16. Data je kružnica k i na njoj tri tačke A, V i S. Ako je O centar kruga i Ð ASV = j , onda je Ð AOV = 2j .
17. Nad duži AV kao prečnikom konstruisana je kružnica k. Neka je M proizvoljna tačka na toj kružnici k. Dokazati da je Ð AMV = 90° .
18. Hipotenuza pravouglog trougla je dva puta veća od katete tog trougla. Izračunati uglove tog trougla.
----------------------------------------------------------------------------------------
Značajne tačke trougla
1. Ako se dve značajne tačke trougla poklapaju onda je trougao jednakostraničan. Dokazati .
2. Dato je pet kolinearnih tačaka i još jedna tačka van te prave. Koliko kružnica određuju te tačke?
3. Dokazati da je centar upisanog kruga u trougao najbliži temenu najvećeg ugla trougla.
4. Dokazati da je težišna duž trougla:
a) manja od poluobima trougla ; b) manja od poluzbira susednih stranica.
5. Dve visine trougla nisu manje od odgovarajućih stranica. Izračunati uglove ovog trougla .
6. U ravni su date tačke A,B,C i D takve da je AB normalna na CD i AC normalna na BD.
Dokazati da je AD normalno na BC.
7. U pravouglom trouglu ABC, CD je visina ( ugao ACB je prav). Tačka M je središte duži CD
a tačka N središte duži BD. Dokazati da je prava AM normalna na CN .
8. Prave a i b seku se u tački Q koja je 'nedostižna' tačka. Ako je data
tačka P odrediti pravu PQ .
9. Na simetrali spoljašnjeg ugla kod temena C izabrana je proizvoljna tačka M. Dokazati da je MA + MB > AC + BC .
10. Izračunati uglove trougla ABC, ako se zna da visina i težisna linija iz temena C dele Ð ACB na tri jednaka dela.
11. Ugao b jednakokrakog trougla ABC (AC = BC) je 72o. Na produžetku kraka AC izabrana je tačka D tako da je AD = AB. Dokazati da je i trougao CBD jednakokrak.
12. Iz temena C trougla ABC konstruisane su normale na simetrale spoljašnjih uglova kod temena
A i B. Normale presecaju pravu AB u tačkama M i N. Dokazati da je duž MN jednaka obimu datog trougla.
ZADACI ZA UVEŽBAVANJE
2. Dato je pet kolinearnih tačaka i još jedna tačka van te prave. Koliko kružnica određuju te tačke?
3. Dokazati da je centar upisanog kruga u trougao najbliži temenu najvećeg ugla trougla.
4. Dokazati da je težišna duž trougla:
a) manja od poluobima trougla ; b) manja od poluzbira susednih stranica.
5. Dve visine trougla nisu manje od odgovarajućih stranica. Izračunati uglove ovog trougla .
6. U ravni su date tačke A,B,C i D takve da je AB normalna na CD i AC normalna na BD.
Dokazati da je AD normalno na BC.
7. U pravouglom trouglu ABC, CD je visina ( ugao ACB je prav). Tačka M je središte duži CD
a tačka N središte duži BD. Dokazati da je prava AM normalna na CN .
8. Prave a i b seku se u tački Q koja je 'nedostižna' tačka. Ako je data
tačka P odrediti pravu PQ .
9. Na simetrali spoljašnjeg ugla kod temena C izabrana je proizvoljna tačka M. Dokazati da je MA + MB > AC + BC .
10. Izračunati uglove trougla ABC, ako se zna da visina i težisna linija iz temena C dele Ð ACB na tri jednaka dela.
11. Ugao b jednakokrakog trougla ABC (AC = BC) je 72o. Na produžetku kraka AC izabrana je tačka D tako da je AD = AB. Dokazati da je i trougao CBD jednakokrak.
12. Iz temena C trougla ABC konstruisane su normale na simetrale spoljašnjih uglova kod temena
A i B. Normale presecaju pravu AB u tačkama M i N. Dokazati da je duž MN jednaka obimu datog trougla.