Šta je novo?
SerbianForum

Dobrodošli na SerbianForum.org, mjesto na kojem možete pronaći apsolutno sve, mjesto druženja i odlične zabave!

Mnozenje i dijeljenje

  • Začetnik teme rozalin
  • Datum pokretanja
rozalin

rozalin

Član
Posmatrajmo skup N_0. Pomnoziti dva prirodna broja a i b znaci naci broj
a*b=c
Broj a je mnozenik, broj b je mnozitelj a broj c je proizvod.
Mnozenik i mnozitelj jednim imenom zovu se faktori.
Mnozenjem brojeva iz skupa prirodnih brojeva dobije su uvijek broj iz skupa prirodnih brojeva
Za mnozenje prirodnih brojeva vrijede sljedece osobine:

Broj 1 je neutralni element u odnosu na mnozenje a*1=a i 1*a=a
3*1=1*3=3
1*7=7*1=7

Ako je mnozitelj ili mnozenik 0 tada je proizvod 0.
a*0=0 i 0*a=0
2*0=0
0*5=0

Komutativnost mnozenja
a*b=b*a
5*6=30
6*5=30
5*6=6*5

Asocijativnost mnozenja
a*(b*c)=(a*b)*c
2*(4*3)=2*12=24
(2*4)*3=8*3=24
2*(4*3)=(2*4)*3

Distributivnost mnozenja prema zbrajanju
(a+b)*c=a*c+b*c
(4+3)*2=7*2=14
4*2+3*2=8+6=14
(4+3)*2=4*2+3*2

Distributivnost mnozenja prema oduzimanju
(a-b)*c=a*c-b*c za a≥ b
(12-3)*2=9*2=18
12*2-3*2=24-6=18
(12-3)*2=12*2-3*2

Proizvod pozitivnog i negativnog cijelog broja jednak je negativnom proizvodu njihovih apsolutnih vrijednosti.
a*(-b)=(-a)*b=-(a*b)
2*(-3)=-(2*3)=-6
Proizvod dva negativna cijela broja jednak je proizvodu njihovih apsolutnih vrijednosti.
(-a) *(-b)=|-a|*|-b|=a*b
(-5)*(-2)=|-5|*|-2|=5*2=10

Ako je u proizvod paran broj faktora proizvod je pozitivan, a ako je negativan broj faktora uproizvod je negativan.
(-2)*(-3)*(-4)=-24 (-2)*(-4)*(-5)*(-2)=80

Kod mnozenja cijelih brojeva vrijede osobine:
Ako je jedan faktor 0 proizvod je 0
z*0=0*z=0
5*0=0
Broj 1 je neutralan element z*1=1*z=z
Primjer 7*1=7
Proizvod broja a i (-1) rezultira suprotnim brojem a*(-1)=-a
9*(-1)=-9
Racionalne brojeve oznacimo sa r_n
U skupu Q za mnozenje vrijede osobine

Komutativnost
r_1*r_2=r_2*r_1

Asocijativnost
r_1*(r_2*r_3)=(r_1*r_2)*r_3

Distribucija mnozenja u odnosu na sabiranje i oduzimanje
r_1(r_2±r_3)=r_1*r_2±r_1*r_3

Neutralni element je 1
r_1*1=1*r_1=r_1

Mnozenjem sa -1 dobijamo suprotan broj
r_1*(-1)=-r_1

Mnozenjem sa nulom dobijamo 0(nulu)
r_1*0=0*r_1=0

Inverznan element je 1/r_1
r_1*(1/r_1)=1

Racionalni brojevi a/b i b/a su reciprocni i vrijedi a/b*b/a=1
Razlomke mozemo prosiriti
a/b=a*m/b*m (b≠0 i m≠0)
2/3=2*5/3*5=10/15

i skratiti ako vrijedi
a/b=a:m=b:m (b≠0 i m≠0)
10/15=10:5/15:5=2/5

Razlomci ciji su nazivnici dekadske jedinice (10,100,1000,...) zovu se decimalni razlomci.

Decimalni razlomci mogu se izraziti u decimalnom zapisu kao
jedna desetinka 1/10=0,1
jedna stotinka 1/100=0,01
jedna hiljadnina 1/1000=0,001

I ostale razlomke mozemo izraziti u decimalnom zapisu. To radimo prosirivanjem ili dijeljenjem brojnika s nazivnikom.
1/2=1*5/2*5=5/10=0,5

Razlomci izrazeni decimalnim zapisom zovu se decimalni brojevi.

Svaki decimalni broj sastoji se od dekadskih jedinica, decimalnog zareza i decimalnih jedinica (decimala).

Dekadske jedinice su lijevo, a decimale su desno od decimalnog zareza.

Uporedjivanje decimalnih brojeva
Od dva decimalna broja veci je onaj koji ima veci cijeli dio, a ako su im cijeli dijelovi jednaki veci je onaj koji ima vecu desetinku, pa stotinku, ...
2,7>1,7 4,5>4,3 4.22>4,21

Svaki prirodni broj moze se pisati kao decimalni broj.
3=3,0

Decimalni broj s prirodnim brojem mnozimo kao da nema decimalnog zareza, ali ju u dobivenom proizvodu napisemo na onoliko decimala koliko ima decimalni broj.

2,6*5=13,0
4,4*2=8,8
Decimalni broj s decimalnim brojem mnozimo kao prirodne brojeve, ali u proizvodu postavimo decimala koliko imaju oba decimalna broja zajedno.
1,1*1,1=1,21
Decimalni broj s dekadskom jedinicom mnozimo tako da decimalni zarez pomicemo udesno za onoliko mjesta koliko 0 ima dekadska jedinica.
4,3*10=43,0
 
Poslednja izmena:
rozalin

rozalin

Član
Podijeliti broj a brojem b znaci naci broj c takav da je
a:b=c odmosno a=b*c

Broj a je djeljenik, broj b je djelitelj, a broj c je kolicnik .
Dijeljenjem dva broja iz skupa N_0 ne dobija se uvijek broj iz skupa N_0.
33:8= 4->nepotpuni kolicnik s ostatkom 1

Za dijeljenje prirodnih brojeva vrijede sljedece osobine:

Broj podijeljen sa 1 jednak je samom sebi a:1=a
5:1=5

Prirodni broj podijeljen sa samim sobom jednak je 1. a:a=1
7:7=1

Nula podijeljena s prirodnim brojem je 0.
0:a=0
0:12=0

Prosirivanje kolicnika
a:b=c → (a*d) : (b*d)=c
6:3=2 (6*3) : (3*3)=18:9=2

Skracivanje kolicnika a:d=c → (a:b) : (d:b)=c za d≠0
32:4=8 (32:2 ) : (4:2)=16:2=8

Djeljenje s nulom nema smisla
6:0=? Ne postoji prirodni broj koji pomnozen s 0 daje 6

Dijeljenje cijelih brojeva

Kolicnik negativnog i pozitivnog cijelog broja je negativni broj cija je apsolutna vrijednost jednaka kolicniku apsolutnih vrijednosti zadanih brojeva.
(-a):b=-(a:b)
(-6):3=-(6:3)=-2

Kolicnik dva negativna cijela broja je pozitivan broj cija je apsolutna vrijednost jednaka kolicniku apsolutnih vrijednosti djeljenika i djelitelja.
(-a) : (-b)= |-a| : |-b|=a:b
(-4) : (-2) |-4| : |-2|=4:2=2

Za cijeli broj a vrijede osobine:
Djeljenjem sa 1 broj se ne mijenja
z:1=z
5:1=5
(-3):1=-3

Djeljenjem sa -1 rezultira suprotnim brojem
a: (-1)=-a
7: (-1)=-7

Djeljenjem broja sa samim sobom dobije se 1.
z:z=1
8:8=1

Nula podijeljena s cijelim brojem je 0
0:z=0
0:2=0

U skupu Z ne postoji inverzan element za mnozenje. Da bi on postojao i da bi bilo definisano dijeljenje na cijelom skupu brojeva skup Z prosirujemo u skup racionalnih brojeva Q.


Dijeljenje racionalnih brojeva

Djeljenje racionalnih brojeva svodi se na mnozenje djeljenika s reciprocnom vrijednoscu djelitelja.
r_1:r_2=r_1*(1/r_2)
a/b:c/c=a/b*d/c
2/3:4/5=2/3*5/4=2*5/3*4=10/12

Kilicnik mozemo zapisati kao dvojni razlomak
a/b:c/d=(a/b)/(c/d)
(4/5)/(2/3)=4*3/2*2=12/10

Dijeljenje decimalnih brojeva

Decimalni broj dijeli se s prirodnim brojem kao da nema decimalnog zareza , ali se u kolicniku naznacava decimalni zarez kad se zavrsi s dijeljenjem cijelog dijela djeljenika.
15,5:5=3,1

Decimalni broj djeli se s decimalnim brojem tako da djeljenik i djelitelj pomnozimo s dekadskom jedinicom koja ima toliko nula koliko djelitelj decimala.
7,842:2,4=78,42:24=3,2675

Decimalni broj dijeli se s dekadskom jedinicom tako da mu decimalni zarez pomicemo ulijevo za onoliko decimalnih mjesta koliko nula ima ta dekadska jedinica.
423.10:10=42.310

51,24:100=0.5124

Jos neke osobine dijeljenja brojeva

Visekratnici nekog broja a su svi brojevi oblika n*a
Visekratnici broja 5 su :5, 10, 15, 20,..

Zajednicki visekratnic i dva ili vise brojeva su brojevi koji su djeljivi s svim zadanim brojevima.

Visekratnici broja 5 su:5, 10, 15, 20,..
Visekratnici broja 4 su: 4,8, 12, 16,...
Zajednicki visekratnici su: 20, 40, ...

Najmanji zajednicki visekratnik dvaju ili vise brojeva je najmanji prirodni broj koji je djeljiv sa svim zadanim brojevima.
Najmanji zajednicki visekratnik od brojeva 4 i 5 je 20 krace pisemo V(4,5)=20
Najmanji zajednicki visekratnik dva relativna prosta broja jednak je njihovom proizvodu
V(3,2)=3*2=6

Najmanji zajednicki visekratnik dva ili vise brojeva racuna se na nacin da se zadani brojevi rastave na proste faktore, a zatim pomnoze zajednicki faktori i oni koji nisu zajednicki.
Ako zadani brojevi imaju vise jednakih faktora tada se uzimaju faktori od onog broja koji ih ima najvise.
6=2*3
12=2*3*2
18=2*3*3
V(6,12,18)=2*3*2*3=36

Ako su dva broja medjusobno djeljiva onda je manji od njih njihov najveci zajednicki djelitelj, a veci od njih njihov najmanji zajednicki visekratnik.
D(10,60)=10 V(10,60)=60

Zbir i razlika visekratnika nekog broja je visekratnik tog broja
Za broj 5 vazi
20+30=50
40-20=20
Za broj 7 vazi
21+28=49
28-21=7
Ako su dva broja djeljiva nekim brojem onda jsu njihovi zbir i razlika djeljivi tim brojem
Brojevi 39 i 27 djeljivi su sa 3
39+27=66 ... djeljiv sa 3
39-27=12 djeljiv sa 3

55 i 20 djeljivi sa 5
55+20=75... djeljiv sa 5
55-20=35 ...djeljiv sa 5
Ako je bar jedan od faktora u proizvodu djeljiv nekim brojem onda je i proizvod tih brojeva sjeljiv tim brojem.
51 djeljiv sa 3
51*2=102 ... djeljiv sa 3
 
Poslednja izmena:
rozalin

rozalin

Član
Broj 1973 mozemo dobiti na sljedeci nacin:

1973 = 1111 : 11 + 1111 * ( 1 + 1 ) - ( 11 + 11 + 11 ) * 11 + 11 + 1:1
1973 = 2222 - 222 - 22 - 2 * 2 - 2 : 2
1973 = 333 * ( 3 + 3 ) - 33 + 3 * 3 - 3 : 3
1973 = 44 * 44 + 44 - 4 - 4 + 4 : 4
1973 = 55 * 55 - 555 - 555 + 55 + ( 5 + 5 + 5 ) : 5
1973 = 6 * 6 * 6 * 6 + 666 + 66 : 6
1973 = 7777 : 7 + 777 + 77 + 7 + 7 : 7
1973 = ( 8 + 8 + 8 ) * 88 - ( 8 + 8 ) * 8 - 8 - ( 8 + 8 + 8 ) : 8
1973 = 99 * 9 + ( 99 - 9 ) * 9 + 9 * ( 9 + 9 ) + ( 999 - 9 ) : 9
 
rozalin

rozalin

Član
Posmatrajmo broj 142 857
Posmatrani broj pomnozimo brojevima od 1 do 6
142 857*2=285 714
142 857*3=428 571
142 857*4= 571 428
142 857*5=714 285
142 857*6=857 142
Sta uocavamo?
Kao proizvod dobijamo brojeve koji se sastoje od cifri kao pocetni broj. Njihov je poredak isti samo sto se mijenja pocetna cifra broja.

Dati broj pomnozimo sa 7
142 857*7=999 999
Ovdje dobijamo broj cije su sve cifre 9.
Sada podijelimo brojeve 1 do 6 sa 7, sta dobijemo

1/7=0,142 857 142 857...
2/7=0,285 714 285 714...
3/7=0, 428 571 428 571...
4/7=0,571 428 571 428...
5/7=0, 714 285 714 285...
6/7=0, 857 142 857 142...
 
rozalin

rozalin

Član
Letjele su vrane, spazile su grane.
Po šest vrana, grana više.
Po pet vrana, vrana više.
Kol'ko vrana? Kol'ko grana?
 
Top