- Učlanjen(a)
- 04.10.2009
- Poruka
- 5.207
Dirihleov princip
1. DDato je 1999 prirodnih brojeva. Dokazati da je bar 1000 datih brojeva iste parnosti.
2. Među 100 proizvoljnih prirodnih brojeva postoji bar 34 broja koja pri deljenu sa 3 imaju isti ostatak. Dokazati.
3. Dato je 999 proizvoljnih prostih brojeva. Dokazati da se bar 250 datih prostih brojeva završava istom cifrom. Da li tvrđenje važi za 998 prostih brojeva ?
4. Dokazati da se od proizvoljnih 6 celih brojeva mogu izabrati dva čija je razlika deljiva sa 5.
5. Stranice i visine trougla AVS na proizvoljan način obojene su plavom ili crvenom bojom. Dokazati da se na tako dobijenoj slici uvek može uočiti trougao čije su sve stranice iste boje.
6. Bela ravan je na proizvoljan način poprskana plavom bojom. Dokazati da u plavobeloj ravni postoje dve tačke iste boje (plave ili bele) čije je rastojanje 1 sm .
7. Bela ravan je na proizvoljan način poprskana plavom bojom. Dokazati da u plavobeloj ravni postoji pravougli trougao čija je hipotenuza 1998 cm i čija su sva temena iste boje.
8. Bela ravan je na proizvoljan način poprskana plavom bojom. Dokazati da u plavo beloj ravni postoji duž čije središte je iste boje kao i njeni krajevi.
9. Bela ravan je na proizvoljan način poprskana plavom bojom. Dokazati da u plavo beloj ravni postoji jednakostranični trougao čija su sva tri temena iste boje.
10. Svaka od stranica i dijagonala konveksnog šestougla na proizvoljan način je obojena plavom ili crvenom bojom. Dokazati da postoji trougao čija su temena temena šestougla i čije su sve stranice iste boje.
11. Nespretni učenik je mastilom zabrljao pravougaoni list hartije dimenzija 21 cm h 30 cm, tako da je ukupna površina svih nastalih mrlja 314 cm2. Dokazati da na tom listu hartije postoje dve tačke, simetrične prema jednoj od simetrala pravougaonika, koje se nalaze u neizbrljanom delu papira.
12. Nekoliko lukova date kružne linije obojeno je plavom bojom tako da je zbir dužina svih obojenih lukova manji od polovine obima kružne linije. Dokazati da postoji prečnik kruga čije su obe krajnje tačke iste boje.
13. U kutiji se nalazi 10 belih i 7 crvenih kuglice. Koliko najmanje kuglica treba uzeti iz kutije (bez gledanja), da bi među njima sigurno bile 3 crvene kuglice ?
14. U vreći se nalazi 70 loptica raznih boja: po 20 crvenih, plavih i žutih, dok su ostale crne. Koliko najmanje loptica treba uzeti slučajnim izvlačenjem iz kutije da bi među njima bilo ne manje od 10 loptica iste boje?
15. Prema najnovijem popisu stanovništva u 5990 mesnih zajednica na teritoriji šireg područja grada Beograda živi 1883764 stanovnika. Dokazati da postoje bar dve mesne zajednice sa istim brojem stanovnika.
16. Na prvenstvu škole u košarci svaka sa svakom igra 10 ekipa. Dokazati da u svakom trenutku takmičenja postoje dve ekipe sa istim brojem odigranih utakmica.
-------------------------------------------------------------------------------------
ZADACI ZA UVEŽBAVANJE
2. Među 100 proizvoljnih prirodnih brojeva postoji bar 34 broja koja pri deljenu sa 3 imaju isti ostatak. Dokazati.
3. Dato je 999 proizvoljnih prostih brojeva. Dokazati da se bar 250 datih prostih brojeva završava istom cifrom. Da li tvrđenje važi za 998 prostih brojeva ?
4. Dokazati da se od proizvoljnih 6 celih brojeva mogu izabrati dva čija je razlika deljiva sa 5.
5. Stranice i visine trougla AVS na proizvoljan način obojene su plavom ili crvenom bojom. Dokazati da se na tako dobijenoj slici uvek može uočiti trougao čije su sve stranice iste boje.
6. Bela ravan je na proizvoljan način poprskana plavom bojom. Dokazati da u plavobeloj ravni postoje dve tačke iste boje (plave ili bele) čije je rastojanje 1 sm .
7. Bela ravan je na proizvoljan način poprskana plavom bojom. Dokazati da u plavobeloj ravni postoji pravougli trougao čija je hipotenuza 1998 cm i čija su sva temena iste boje.
8. Bela ravan je na proizvoljan način poprskana plavom bojom. Dokazati da u plavo beloj ravni postoji duž čije središte je iste boje kao i njeni krajevi.
9. Bela ravan je na proizvoljan način poprskana plavom bojom. Dokazati da u plavo beloj ravni postoji jednakostranični trougao čija su sva tri temena iste boje.
10. Svaka od stranica i dijagonala konveksnog šestougla na proizvoljan način je obojena plavom ili crvenom bojom. Dokazati da postoji trougao čija su temena temena šestougla i čije su sve stranice iste boje.
11. Nespretni učenik je mastilom zabrljao pravougaoni list hartije dimenzija 21 cm h 30 cm, tako da je ukupna površina svih nastalih mrlja 314 cm2. Dokazati da na tom listu hartije postoje dve tačke, simetrične prema jednoj od simetrala pravougaonika, koje se nalaze u neizbrljanom delu papira.
12. Nekoliko lukova date kružne linije obojeno je plavom bojom tako da je zbir dužina svih obojenih lukova manji od polovine obima kružne linije. Dokazati da postoji prečnik kruga čije su obe krajnje tačke iste boje.
13. U kutiji se nalazi 10 belih i 7 crvenih kuglice. Koliko najmanje kuglica treba uzeti iz kutije (bez gledanja), da bi među njima sigurno bile 3 crvene kuglice ?
14. U vreći se nalazi 70 loptica raznih boja: po 20 crvenih, plavih i žutih, dok su ostale crne. Koliko najmanje loptica treba uzeti slučajnim izvlačenjem iz kutije da bi među njima bilo ne manje od 10 loptica iste boje?
15. Prema najnovijem popisu stanovništva u 5990 mesnih zajednica na teritoriji šireg područja grada Beograda živi 1883764 stanovnika. Dokazati da postoje bar dve mesne zajednice sa istim brojem stanovnika.
16. Na prvenstvu škole u košarci svaka sa svakom igra 10 ekipa. Dokazati da u svakom trenutku takmičenja postoje dve ekipe sa istim brojem odigranih utakmica.
-------------------------------------------------------------------------------------
Logičko-kombinatorni zadaci
1. U U čaši , balonu i kanti nalaze se : limunada, mleko i voda (u svakom sudu po jedna tečnost ). U kanti nije limunada, a ni mleko. U čaši nije limunada. Koja se tečnost nalazi u kom sudu?
2. Koje su ocene dobili Anka, Branka i Danka ako Anka nema '3', Danka nema '3' i nema '5' , a u odeljenju nema dvojki i jedinica iz matematike.
3. Od tri olovke , jedna je crvena, jedna bela i jedna plava. Označiti olovke sa A, B i C. Koje boje imaju olovke ako je tačno samo jedno od tri tvrđenja. "A je crvena" , "B nije crvena" , "C nije plava".
4. Boris , Dušan , Milica i Višnja su kapiteni sportskih ekipa u svojoj školi. Postavljeno im je pitanje u kojim sportovima se takmiče i oni su dali sledeće izjave : Boris : "Višnjina ekipa igra rukomet , a Milicina košarku". Dušan: "Višnja igra odbojku, a Boris košarku". Milica
: "Dušan je kapiten odbojkaša , a Boris rukometaša ". Višnja : "Boris predvodi odbojkaše, a Milica šahiste". Ispostavilo se da se kapiteni nedovoljno poznaju. Naime svaki je
istinu rekao samo za jednog sportistu. Odgovoriti kojim ekipama su kapiteni Boris, Dušan, Milica i Višnja.
5. U jednoj vazi je pet karanfila , a u drugoj tri ruže. Na koliko načina se može izabrati jedan karanfil ili jedna ruža? Na koliko načina se može napraviti buket od jednog karanfila i jedne ruže?
6. Od mesta A do mesta B vode tri puta , a od mesta B do mesta C dva puta. Na koliko se načina može stići iz A u C preko B?
7. Na koliko se načina mogu razmestiti 5 učenika na 5 pričvršćenih stolica?
8. Na koliko se načina mogu razmestiti 6 učenika na: a) 9 pričvršćenih stolica ; b) 4 pričvršćene stolice?
9. Koliko se četvorocifrenih brojeve može sastaviti od cifara: a) {1,2,3,4,5,6} ; b) {0,1,2,3,4,5} ako se cifre: a) ne ponavljaju ; b) ponavljaju .
10. Od cifara 0,1,3,5,7,9 napisani su petocifreni brojevi sa pet različiti cifara. Koliko je među njima onih koji nisu deljivi sa 10 ?
11. Koliko dijagonala ima dvanaestougao?
12. Nekoliko drugova, prilikom susreta, su se rukovali jedan sa drugim. Koliko je bilo drugova
ako je bilo 10 rukovanja?
13. U ravni je dato 8 tačaka od kojih su 4 na jednoj pravoj , a od preostalih 4 nikoje
3 nisu na jednoj pravoj. Koliko pravih određuje ovih 8 tačaka?
14. Registracija automobila sadrži jedno slovo azbuke i jedan trocifreni broj (koji ne počinje nulom). Koliko se automobila može na taj način registrovati ?
15. Aca , Miša i Rajko čitaju: "Politiku" , "Novosti" i "Sport" i to svako čita samo jedne novine. Na pitanje, ko od njih čita koje novine njihova drugarica Vera je odgovorila: " Aca je čitao "Politiku", Miša nije čitao "Novosti", a Rajko nije čitao "Politiku". Odgovor je bio tačan samo za jednog čitaoca. Koje novine čitaju Aca, Miša i Rajko?
16. Koliko ima trocifrenih brojeva sa različitim ciframa, ako su sve cifre različite od nule?
17. Na jednoj proslavi svih 20 učesnika rukovali su se međusobno. Koliko je ukupno bilo rukovanja?
ZADACI ZA UVEŽBAVANJE
2. Koje su ocene dobili Anka, Branka i Danka ako Anka nema '3', Danka nema '3' i nema '5' , a u odeljenju nema dvojki i jedinica iz matematike.
3. Od tri olovke , jedna je crvena, jedna bela i jedna plava. Označiti olovke sa A, B i C. Koje boje imaju olovke ako je tačno samo jedno od tri tvrđenja. "A je crvena" , "B nije crvena" , "C nije plava".
4. Boris , Dušan , Milica i Višnja su kapiteni sportskih ekipa u svojoj školi. Postavljeno im je pitanje u kojim sportovima se takmiče i oni su dali sledeće izjave : Boris : "Višnjina ekipa igra rukomet , a Milicina košarku". Dušan: "Višnja igra odbojku, a Boris košarku". Milica
: "Dušan je kapiten odbojkaša , a Boris rukometaša ". Višnja : "Boris predvodi odbojkaše, a Milica šahiste". Ispostavilo se da se kapiteni nedovoljno poznaju. Naime svaki je
istinu rekao samo za jednog sportistu. Odgovoriti kojim ekipama su kapiteni Boris, Dušan, Milica i Višnja.
5. U jednoj vazi je pet karanfila , a u drugoj tri ruže. Na koliko načina se može izabrati jedan karanfil ili jedna ruža? Na koliko načina se može napraviti buket od jednog karanfila i jedne ruže?
6. Od mesta A do mesta B vode tri puta , a od mesta B do mesta C dva puta. Na koliko se načina može stići iz A u C preko B?
7. Na koliko se načina mogu razmestiti 5 učenika na 5 pričvršćenih stolica?
8. Na koliko se načina mogu razmestiti 6 učenika na: a) 9 pričvršćenih stolica ; b) 4 pričvršćene stolice?
9. Koliko se četvorocifrenih brojeve može sastaviti od cifara: a) {1,2,3,4,5,6} ; b) {0,1,2,3,4,5} ako se cifre: a) ne ponavljaju ; b) ponavljaju .
10. Od cifara 0,1,3,5,7,9 napisani su petocifreni brojevi sa pet različiti cifara. Koliko je među njima onih koji nisu deljivi sa 10 ?
11. Koliko dijagonala ima dvanaestougao?
12. Nekoliko drugova, prilikom susreta, su se rukovali jedan sa drugim. Koliko je bilo drugova
ako je bilo 10 rukovanja?
13. U ravni je dato 8 tačaka od kojih su 4 na jednoj pravoj , a od preostalih 4 nikoje
3 nisu na jednoj pravoj. Koliko pravih određuje ovih 8 tačaka?
14. Registracija automobila sadrži jedno slovo azbuke i jedan trocifreni broj (koji ne počinje nulom). Koliko se automobila može na taj način registrovati ?
15. Aca , Miša i Rajko čitaju: "Politiku" , "Novosti" i "Sport" i to svako čita samo jedne novine. Na pitanje, ko od njih čita koje novine njihova drugarica Vera je odgovorila: " Aca je čitao "Politiku", Miša nije čitao "Novosti", a Rajko nije čitao "Politiku". Odgovor je bio tačan samo za jednog čitaoca. Koje novine čitaju Aca, Miša i Rajko?
16. Koliko ima trocifrenih brojeva sa različitim ciframa, ako su sve cifre različite od nule?
17. Na jednoj proslavi svih 20 učesnika rukovali su se međusobno. Koliko je ukupno bilo rukovanja?