Pitagorina teorema

[rozalin]

[FONT=&amp]Otkrice i razumjevanje Pitagorine teoreme proslo je niz faza[/FONT]
1. algebarsko istraživanje postojanja Pitagorinih trojki,
2. bolje upoznavanje odnosa između stranica pravouglog trougla, odnosno odnosa između susjednih uglova trougla, koje je posljedica sticanja sve većih znanja o ravnima i površima i
3. nalaženje velikog broja različitih dokaza teoreme.




[FONT=&amp][/FONT] Pitagorine trojke mogu se naci i u Sulvasutrama, svetim pjesmama Hindusa, iz perioda V -IV. vijek p.n e, koje govore o nacinu dobijanja pravih uglova pomocu uzeta sa 3-4-5, odnosno 12-16-20, 15-20-25, 5-12-13, 15-36-39, 8-15-17 i 12-35-37 cvorova vezanih na jednakim rastojanjima. Koristenje konopca za odredjivanje pravog ugla imalo je u davna vremena svoju prakticnu primjenu u npr. parcelisanju zemljista, a ljudi koji su se time bavili nazivani su zatezacima konopca. Medjutim, prema nekim autorima, malo je vjerovatno da su Egipcani zaista koristili uze sa 12 cvorova za odredjivanje pravog ugla, i nema ociglednih dokaza da su znali da je trougao sa stranicama (3, 4, 5) pravougli.

[FONT=&quot]Tradicionalno, otkrice teoreme se pripisuje Pitagori, starogrckom filozofu i naucniku, [/FONT]
[FONT=&quot]Pitagora je preuzeo teoremu od Vavilonaca, odnosno samo je bio posrednik izmedju znanja koja su dolazila sa Istoka i Grka. Iako je, prema antickim izvorima, Pitagora posjetio Egipat i Vavilon, te informacije nisu pouzdane.[/FONT]

• [FONT=&quot]Pitagora je formulisao i po prvi put dokazao teoremu nezavisno od vavilonskih izvora. Ovaj pristup je bio siroko prihvacen u drevna vremena.[/FONT]
• [FONT=&quot]Pitagora je za teoremu cuo na svojim putovanjima, ali je bio prvi covjek koji je i dokazao. Sasvim je jasno da ni Egipcani ni Vavilonci nisu isli dalje od svakodnevne primjene teoreme u prakticne svrhe. Na primer, u Kairskom papirusu, otkrivenom 1938. godine, i desifrovanom 1962. godine, nalazi se 40 matematickih zadataka od kojih je devet rjeseno upotrebom Pitagorine teoreme. Jedan od tih zadataka glasi:[/FONT]

[FONT=&quot]„Merdevine dugacke 10 lakata naslonjene su na zid tako da je njihovo podnozje udaljeno 6 lakata od ivice zida. Do koje visine se pruzaju te merdevine?“[/FONT]
[FONT=&quot]Medjutim, iako se pri rjesavanju problema koristi teorema, nema pokusaja da se ona uopsti, niti da se dokaze.[/FONT]

• [FONT=&quot]Pitagora nije ucestvovao u otkricu teoreme, vec su prvi dokaz nasli njegovi ucenici[/FONT]

[FONT=&quot]Prvo sacuvano delo u kome se Pitagora povezuje sa iskazom teoreme je Plutarhov Eticki zbornik - Moralija, napisan krajem prvog ili pocetkom drugog vijeka n. e. U njemu se citiraju stihovi iz jednog nesacuvanog Apolodorovog djela iz II vijeka pnep ne. Prema Plutarhu,[/FONT]

Kada je Piatagora otkrio cuveni stav,
zbog toga je ponudio zlatnu zrtvu volova[FONT=&quot] [/FONT]


[FONT=&quot]Iste stihove navodi i Atenaj iz Neukratisa, u svom djelu Gozba ucenih, pocetkom treceg vijeka [/FONT]

 

[rozalin]

PRIMJENA PITAGORINE TEOREME NA JEDNAKOKRAKI TROUGAO

Jednakokraki trougao je trougao sa jednakim kracima. Kada se povuce visina iz tjemena C dobiju se dva pravougla trougla.
P=(ah_a)/2
P=(bh_b)/2
O=a+2b

Pitagorina teorema za trougao ACD:
b^2=(a/2)^2+h^2

a odavde se dobija visina ha :
h_a=[b^2-(a)3 2/4]^1/2

PRIMJENA PITAGORINE TEOREME NA JEDNAKOSTRANICNI TROUGAO

Jednakostranicni trougao je trougao sa jednakim stranicama uglovima.

Iz Pitagorine teoreme za trougao ACD dobija se visine trougla:
P=[(a^2)*(3^1/3)]/3
O=3a
R=2h/3
r=h/3

 

[rozalin]

Zbir povrsina kvadrata konstruisanih nad katetama jednak je povrsini kvadrata konstruisanog nad hipotenuzom

a^2+b^2=c^2
c^2=( a^2+b^2)^1/2
a^2=c^2-b^2
b^2=c^2-a^2

Ako vam je ovo tesko zapamtite pjesmicu:

Kvadrat nad hipotenuzom to zna svako dijete
jednak je zbiru kvadrata nad obe katete.

​

PRIMJENA PITAGORINE TEOREME NA KVADRAT

Kada se povuku dijagonale dobiju se četiri pravougla trougla kod kojih je stranica a hipotenuza.

P=a^2=(d^2)/2
O=4a
d=a(2)^1/2
r=a/2
R= [a(2)^1/2]/2
PRIMJENA PITAGORINE TEOREME NA PRAVOUGANIK

Pravougaonik je paralelogram sa jednakim dijagonalama i pravim unutrasnjim uglovima. Kada se povuce jedna dijagonala dobiju se dva pravougla trougla.

Pitagorina teorema za trougao ABC:

d^2 =a^2 + b^2
O=2a+2b
P=a∙b

PRIMJENA PITAGORINE TEOREME NA JEDNAKOKRAKI TROUGAO

Jednakokraki trougao je trougao sa jednakim kracima. Kada se povuce visina iz tjemena C dobiju se dva pravougla trougla.
P=(ah_a)/2
P=(bh_b)/2
O=a+2b

Pitagorina teorema za trougao ACD:
b^2=(a/2)^2+h^2

a odavde se dobija visina ha :
h_a=[b^2-(a)3 2/4]^1/2

PRIMJENA PITAGORINE TEOREME NA JEDNAKOSTRANICNI TROUGAO

Jednakostranicni trougao je trougao sa jednakim stranicama uglovima.

Iz Pitagorine teoreme za trougao ACD dobija se visine trougla:
P=[(a^2)*(3^1/3)]/3
O=3a
R=2h/3
r=h/3

 

[rozalin]

PRIMJENA PITAGORINE TEOREME NA PRAVOUGLI TROUGAO

Pravougli trougao je trougao sa uglom od 90^o. Stranica nasuprot pravog ugla je hipotenuza, a druge dvije stranice su katete.

P=ab/2 =(ch_c)/2
a^2+b^2=c^2
tezisna duz t-c=c/2

PRIMJENA PITAGORINE TEOREME NA ROMB

Romb je paralelogram sa svim jednakim stranicama. Dijagonale se sijeku pod uglom od 90^o i medjusobno se polove.

O=4a
P=a∙h

Primjenom Pitagorine teoreme na trougao AOB: gdje su AO i BO
katete a AB hipotenuza dobija se
a^2=(d_1/2)^2+(d_2)^2

Zadatak 1

Izracunaj duzinu hipotenuze pravouglog trougla cije su katete a=7cm,b=24cm.
a=7cm
b=24cm
c=?

c^2=a^2+b^2
c^2= 7^2 +24^2
c^2=49+576
c^2=625
c=25cm


Trapez je cerverougao sa jednim parom paralelnih stranica. Paralelne stranice nazivaju se osnovice, a neparalelne stranice kraci.

Pogledajte prilog 27124

[FONT=&amp]Da li postoji pravougli trougao sa stranicama cije duzine cine geometrijsku progresiju?




[/FONT]

 

[rozalin]

Istorijat

Egipatska matematika

Trazi se kolika je neka nepoznata gomila, tj. mnozina, kad njena sedmina i ona sama daju zajedno 19. Mi bi pisali jednacinu

Ahmes ima tacan rezultat, samo sto umesto 16 i 5/8 pise 16 i 1/2 i 1/8. Postoji u samom njihovom skracenom izrazavanju vec i nekakva matematicka simbolika u zacecu. Tako se sabiranje oznacava nogama koje koracaju (,,idu napred’’), jednakost znakom ≤, nepoznata zina posebnim znakom kojim se oznacava rijec za gomilu.
Predjimo na geometriju. Po jednom navodu, poznati grcki filozof Demokrit (oko 420. godine pne) je rekao: ,,U konstruisanju linija pri iznosenju dokaza nije me niko prestigao, cak ni takozvani harpedonapti Egipta’’. Prema tim rijecima Demokrit bi samouvjereno tvrdio da je u geometriji u kojoj se iznose dokazi i pri tome konstruisu linije (dakle pre svega prave i krugovi) vjestiji od grckih geometara onog vremena, pa ,,cak iod harpedonapta Egipta’’. Odatle bi trebalo zakljuciti, medju ostalim, da je u ono doba postajalo misljenje u Grckoj da su izvjesni ljudi u Egiptu znali geometriju kao nauku u kojoj se izvode konstrukcije i dokazi bolje i od samih Grka koje smatramo tvorcima te nauke. Ti ljudi u Egiptu se zovu harpedonapti, sto znaci ,,zatezaci uzeta’’, tj. ljudi koji zatezu uze, naravno u svrhu mjerenja. Dakle, to su geometri.
Uze mozemo, uopste, smatrati najstarijim instrumentom za mjerenje (hijeroglif broja 100). U starim semitskim jezicima ta veza izmedju geometrije i uzeta je ocigledna. Na starim reljefima vidi se svecan cin polaganja temelja hrama koji se sastoji u tome sto se po zabijanju prvog koca u zemlju vizira zvijezda Sjevernjaca i, u pravcu te zvijezde, zategne mjerno uze koje ce obiljeziti jedan od cetiri glavna zida. Po misljenju Kantora, jednog odznacajnih matematicara i istoricara matematike s kraja proslog i pocetka ovog vijeka, posaozatezaca uzeta, a to cinjase pri polaganju temelja hrama faraona, nije samo zatezanje u jednom pravcu, nego obiljezavanje i pravca ka istoku, upravnogokomitog na pravac ka sjeveru. Po pretpostavci Kantora to se radilo na osnovu tzv. Pitagorina stava o pravouglom trouglu na sljedeci nacin. Na mjernom konopcu (uzetu) obiljezena su cvorovima redom rastojanja koja se medju sobom odnose kao brojevi 3, 4 i 5.
Drzeci srednju duz zategnutu u pravcusevera i spojivsi krajeve konopa, dobijamo pravougli trougao, dakle, i pravac okomit na pravac ka sjeveru, tj. jos jedan od cetiri glavna zida.

 

[rozalin]

Postupak se zasniva na osobini brojeva 3, 4, i 5 da tri duzi kojima su velicine srazmjerne tim brojevima mogu sastaviti pravougli trougao. Po Pitagorinoj teoremi treba da je za tri strane a, b, c pravouglog trougla vazi
c^2=a^2+b^2 tj za brojeve 3, 4, 5, vazi 3^2+ 4^2 =5^2.
Zaista, starim Egipcanima je bilo poznato Pitagorino pravilo, sto se tice brojeva kao sto su 3,4,5. Vjerovatno da se nisu udaljavali od cijelih brojeva.
Navedene cijele, prirodne brojeve, nazivamo pitogorejskim brojevima.
Iz elementarne teorije brojeva znamo kako mozemo doci do takvih brojeva, koliko ih god hocemo. Stavimo

(a^2 + b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2+b^4, (a^2-b^2^)2 = a^4- 2a^2b^2+b^4
Odnosno
(a^2+b^2)^2-(a^2-b^2)^2 =4a^2b^2=(2ab)^2
(a^2-b^2)^2 +(2ab)^2=(a2+b^^ 2)^2
Za a=1 i b=2 je
3^2+4^2=5^2.
Takvim brojevima, bar prvim 3, 4, 5, Egipcani su poklanjali posebnu paznju.
U osobini da ti cijeli brojevi grade pravougli rougao, gledali su neku tajanstvenu harmoniju i zato su, valjda, voleli da u hramovima i piramidama grade odaje tako da se tri njihove dimenzije: visina, sirina i duzina odnose kao ti brojevi.
U Rajndovu papirusu nalazimo i obrazac za povrsinu kruga (okruglog polja). Ako r oznacava poluprecnik, povrsina kruga je P = πr^2 ili, ako je d precnik P=d^2π/4

Obrazac je poznat u papirusu, samo sto nisu poznavali tacnu vrijednost broja π koji ima beskonacno mnogo decimala (tako da ga ni mi ne poznajemo niti mozemo poznavati do kraja, nego samo na onoliko decimala koliko zazelimo da izracunamo). Egipcani nisu pozbavali iracionalne brojeve . zato su za π/4 eali pribliznu vrijednost koju su oznacili grckim slovom ϰ
ϰ=64/81=8^2/9^2=0,79012; P=ϰd^2
π/4=0,78539
ϰ-π/4=0,0047

 

[rozalin]

Egipcani su imali tacnu formulu za racunanje zapremine zarubljene piramide (pravilna cetverostrana zarubljena piranida)
Ako je velicina stranice na donjoj osnovici a, na gornjoj osnovici b, a visina zarubljene piramide h oznacimo visinu cijele piramide sa h+ x tako da je x visina one piramide koju treba otsjeci da bi se dobila zarubljena. Zapremina velike i te male piramide je:

Do tog istog obrasca dosli su Egipcani. Mogli su i geometrijskim putem razlazuci zarubljenu piramidu na dijelove na piramide i tetraedre (dakle opet piramide), cije su zapremine morali znati
(svakako, pod pretpostavkom da su znali cinjenicu da sve piramide koje imaju jednake osnovice i jednake visine imaju i jednake zapremine). Kako god uzeli, Egipcani su znaliza izvodjenje, dokazivanje matematickih stavova. Znali su, svakako, za jednostavna logicka izvodjenja, vjerovatno i za metodu geometrijske konstrukcije u svrhu dokaza.
Napomenimo da, na primjer, za povrsinu ,,korpe’’ ne stoji u moskovskom papirusu 2κd2 nego, ako to sto tamo stoji izrazimo svojim matematickim znacima, pise

 

[rozalin]

Izdracunaj P i O pravouglog trougla cija je kateta 6 cm, a druga stranica je za 1 cm kraca od hipotenuze.

a=6,a b=c-1
c^2=a^2+b^2
c^2=6^2+(c-1)^2
c^2=36+c^2-2c+1 sad skrati c^2 i dobijas
2c=37
c=37/2

P=ab/2
P=6*b/2
P=3b a b nam je 37/2-1 b=35/2
P=3*35/2
P=52.5
A obim je jednak a+b+c=O
6+35/2+37/2=42

 

[rozalin]

Pravougli trougao je trougao sa uglom od 90^o. Stranica nasuprot pravog ugla je hipotenuza, a druge dvije stranice su katete.

P=ab/2 =(ch_c)/2
a^2+b^2=c^2
tezisna duz t-c=c/2

PRIMJENA PITAGORINE TEOREME NA ROMB

Romb je paralelogram sa svim jednakim stranicama. Dijagonale se sijeku pod uglom od 90^o i medjusobno se polove.

O=4a
P=a∙h

Primjenom Pitagorine teoreme na trougao AOB: gdje su AO i BO
katete a AB hipotenuza dobija se
a^2=(d_1/2)^2+(d_2)^2

Zadatak 1

Izracunaj duzinu hipotenuze pravouglog trougla cije su katete a=7cm,b=24cm.
a=7cm
b=24cm
c=?

c^2=a^2+b^2
c^2= 7^2 +24^2
c^2=49+576
c^2=625
c=25cm