Maksimum i munimum funkcije

[rozalin]

problem se susrece na takmicenjima
Teorem

Proizvod dvaju promjenjivih faktora koji su pozitivni, a čiji je zbir konstantan poprima maksimum, ako su svi ti faktori jednaki ukoliko to oni mogu postati.

Zadatak

Odrediti apsolutni maksimum funkcije y=-x^4+8x^2+33

( 11-x^2) ( 3+x^2 )
3+x^2+11-x^2=14=const

Proizvod će biti maksimum za 3+x^2=11-x^2 => x^2=4.

y_{max}=49

 

[rozalin]

Teorema
Zbir dvaju pozitivnih faktora ciji je proizvod konstantan je minimum kada su oba faktora jednaka, ukoliko to oni mogu postati

Primjer:​

Odrediti minimum funkcije ​

​

​

y=x+a/x za a> 0​

​

​

Kako je proizvod oba sabirka stalan i iznosi x*a/x=a , za minimum mora biti:​

​

​

a=a/x => x^2=a => x=(a)^1/2 ​

​

​

y_(max)=2 (a)^1/2​

​

​

Ako se x mijenja u negativnom podruciju, funkcija za x=-(a)^1/2 poprima maksimum. Ako pak oba sabirka ne mogu postati jednaka, zbir ce biti minimum istovremeno kada je i apsolutna vrijednost njihove razlike minimalna.​