- Učlanjen(a)
- 04.10.2009
- Poruka
- 5.207
Izračunavanje površine ravnih figura - Pitagorina teorema ( Konstruktivni zadaci )
1. Duž AC dužine a je svojom unutrašnjom tačkom B podeljena u odnosu 3 : 2. Nad dužima AB i BC sa raznih strana u odnosu na AC konstruisani su kvadrati ABDE i BCFG. Neka su M i N preseci dijagonala dobijenih kvadrata. Izračunati površinu četvorougla MNCD u funkciji od date duži a.
2. Dijagonale konveksnog četvorougla ABCD seku se u tački O. Dokazati da je proizvod površina trouglova AOB i COD jednak proizvodu površina trouglova BOC i DOA.
3. Tačke M, N i R dele stranice AB, BC i CA trougla ABC u odnosu: a) 1:1 ; b) 2:1 ; c) m:n. Ako je površina trougla ABC jednaka P kolika je površina trougla MNP?
4. Dat je konveksan četvorougao ABCD površine P. Neka su K, L, M i N redom središta stranica AB, BC, CD i DA četvorougla. Dokazati da je KLMN paralelogram i izračunati njegovu površinu.
5. Dat je paralelogram ABCD površine 10 cm2. Neka su K, L, M i N redom proizvoljne tačke na stranicama AB, BC, CD i DA tog paralelograma. Dokazati da ako je površina četvorougla KLMN jednaka 5 cm2, onda je jedna od dijagonala četvorougla paralelna jednoj od stranica paralelograma.
6. Dat je četvorougao ABCD čija je površina P. Na stranicama AB i CD date su tačke K, L, M i N tako da je AK = KL = LB i CM = MN = ND. Izračunati površinu četvorougla KLMN. Šta bi bilo ako bi se stranice AB i CD podelile na 5, 7, ..., 2n+1 jednakih delova?
7. Stranice AB, BC i CA trougla ABC, produžene su preko temena B, C, A za svoju dužinu, tako da je AB = BA', BC = CB' i CA = AC'. Ako je površina trougla ABC jednaka P kolika je površina trougla A'B'C'?
8. Dat je paralelogram ABCD površine 10 cm2. Neka su M, N, P i Q tačke pravih AB, BC, CD i DA takve da su tačke B, C, D i A središta duži AM, BN, CP i DQ. Dokazati da je četvorougao MNPQ paralelogram i izračunati njegovu površinu.
9. Dat je konveksan četvorougao ABCD površine 1996 cm2. Neka su M, N, P i Q tačke pravih AB, BC, CD i DA takve da su tačke B, C, D i A središta duži AM, BN, CP i DQ. Izračunati površinu četvorougla MNPQ.
10. Dat je kvadrat ABCD čija je površina 100 cm2. Neka su M, N, P i Q redom središta stranica AB, BC, CD i DA. Presekom duži AP, BQ, CM i DN definisan je jedan četvorougao. Dokazati da je dobijeni četvorougao kvadrat i izračunati njegovu površinu. Šta se dešava ako je AM:MB = BN:NC = CP
D = DQ:QA = m:n ? Da li se sličan problem može definisati i ako je četvorougao ABCD paralelogram?
11. Dat je kvadrat ABCD čija je površina 81 cm2. Neka su K i L, M i N, P i Q, R i S tačke koje stranice AB, BC, CD i DA dele na tri jednaka dela. Presekom duži KN, LR, MQ i PS definisan je jedan četvorougao. Dokazati da je dobijeni četvorougao kvadrat i izračunati njegovu površinu.
12. Može li se dati kvadrat podeliti na 1999 manjih i neobavezno podudarnih kvadrata?
13. Da li je moguće dati jednakostranični trougao podeliti na 1999 manjih i neobavezno podudarnih manjih jednakostraničnih trouglova?
14. Neka su P, Q, R i S redom središta stranica AB, BC, CD i DA kvadrata ABCD. Duži AR, BS, CP i DQ seku se i grade novi četvorougao KLMN. Ako je AB = 10 cm, kolika je površina četvorougla KLMN?
15. Dat je proizvoljan konveksan četvorougao ABCD. Tačke K i L su redom središta stranica AB i CD. Prave AM i KD seku se u tački M, a prave BM i KC u tački L. Dokazati da je površina četvorougla KLMN jednaka zbiru površina trouglova AND i BCL.
16. Dat je trougao ABC čija je površina 1999 cm2. Stranice AB, BC i CA produžene su preko temena B, C i A ya svoju dužinu, tako da je AB = BA1, BC = CB1 i CA = AC1. Izračunati površinu dobijenog trougla A1B1C1.
17. Dat je kvadrat S dužine stranice 20. Neka je M skup čiji su elementi 4 temena kvadrata S i 1999 proizvoljnih unutrašnjih tačaka kvadrata S. Dokazati da postoji trougao sa temenima iz skupa M čija je površina manja od 0,1.
18. Može li se dati jednakokrako-pravougli trougao podeliti na a) 10 ; b) 100 ; c) 1999 manjih neobavezno podudarnih jednakokrako pravouglih trouglova?
19. Svaka stranica pravilnog šestougla ABCDEF produžena je za svoju dužinu tako da je AB = BA', BC = CB', CD = DC', DE = ED', EF = FE', FA = AF' . Ako je površina šestougla ABCDEF jednaka P, odrediti površinu šestougla A'B'C'D'E'F'.
20. Tačke M, N i R dele stranice AB, BC i CA jednakostraničnog trougla ABC u odnosu 3:4. Prave AN, BP i CM seku se i grade trougao QRS. Ako je površina trougla ABC jednaka 1998 cm2, kolika je površina trougla QRS ?
---------------------------------------------------------------------------------------
1. Konstruisati kvadrat čija površina jednaka zbiru (razlici) površina dva data kvadrata.
2. Konstruisati kvadrat čija je površina jednaka zbiru površine tri data kvadrata.
3. Konstruisati jednakostranični trougao čija je površina jednaka razlici površina dva data jednakostranična trougla.
4. Dat je pravougaonik čije su stranice a i b. Konstruisati kvadrat koji ima površinu jednaku površini datog pravougaonika.
5. Konstruiši kvadrat čija je površina jednaka površini jednakostraničnog trougla stranice a.
6. Konstruiši jednakostranični trougao čija je površina jednaka površini kvadrata date stranice a.
7. Konstruisati jednakokrako-pravougli trougao čija je površina jednake zbiru površinama dva data:
a) jednakokrako- pravougla trougla ; b) kvadrata ; c) jednakostranična trougla.
8. Nad stranicama jednakostraničnog trougla stranice a konstruisani su sa spoljnje strane kvadrati i dobijena slobodna temena povezana u mnogougao. Izračunati obim i površinu tako dobijenog mnogougla.
9. Nad stranicama pravilnog šestougla stranice a konstruisani su sa spoljnje strane kvadrati i dobijena slobodna temena povezana u mnogougao. Izračunati obim i površinu tako dobijenog mnogougla.
10. Nad stranicama pravouglog trougla čije su katete a i b konstruisani su sa spoljnje strane:
a) jednakostranični trouglovi ; b) pravilni šestouglovi ; c) pravougaonici čije se stranice odnose kao 2:1. Dokazati da je površina figure nad hipotenuzom jednaka zbiru površina figura nad katetama.
11. Neka se dijagonale trapeza ABCD seku u tački S. Tada je površina trougla ASD jednaka površini trougla BSC. Dokazati.
12. Dat je konveksni četvorougao ABCD. a) Konstruisati trougao čija je površina jednaka površini datog četvorougla. b) Konstruisati pravougaonik čija je površina jednaka površini datog četvorougla.
13. Dat je konveksni četvorougao ABCD. Konstruisati pravilni šestougao čija je površina jednaka površini datog četvorougla.
14. Konstruisati kvadrat čija je površina jednaka zbiru površina konveksnog četvorougla ABCD
i konveksnog petougla MNPQR.
15. Dat je pravougaonik čije su stranice a i b. Konstruiši jednakostranični trougao čija je površina jednaka površini datog pravougaonika.
16. Nad stranicama pravouglog trougla čije su katete a i b konstruisani su sa spoljnje strane kvadrati i dobijena slobodna temena povezana u šestougao. Izračunati površinu tako dobijenog šestougla u funkciji od a i b ?
Izračunavanje površine ravnih figura
1. Duž AC dužine a je svojom unutrašnjom tačkom B podeljena u odnosu 3 : 2. Nad dužima AB i BC sa raznih strana u odnosu na AC konstruisani su kvadrati ABDE i BCFG. Neka su M i N preseci dijagonala dobijenih kvadrata. Izračunati površinu četvorougla MNCD u funkciji od date duži a.
2. Dijagonale konveksnog četvorougla ABCD seku se u tački O. Dokazati da je proizvod površina trouglova AOB i COD jednak proizvodu površina trouglova BOC i DOA.
3. Tačke M, N i R dele stranice AB, BC i CA trougla ABC u odnosu: a) 1:1 ; b) 2:1 ; c) m:n. Ako je površina trougla ABC jednaka P kolika je površina trougla MNP?
4. Dat je konveksan četvorougao ABCD površine P. Neka su K, L, M i N redom središta stranica AB, BC, CD i DA četvorougla. Dokazati da je KLMN paralelogram i izračunati njegovu površinu.
5. Dat je paralelogram ABCD površine 10 cm2. Neka su K, L, M i N redom proizvoljne tačke na stranicama AB, BC, CD i DA tog paralelograma. Dokazati da ako je površina četvorougla KLMN jednaka 5 cm2, onda je jedna od dijagonala četvorougla paralelna jednoj od stranica paralelograma.
6. Dat je četvorougao ABCD čija je površina P. Na stranicama AB i CD date su tačke K, L, M i N tako da je AK = KL = LB i CM = MN = ND. Izračunati površinu četvorougla KLMN. Šta bi bilo ako bi se stranice AB i CD podelile na 5, 7, ..., 2n+1 jednakih delova?
7. Stranice AB, BC i CA trougla ABC, produžene su preko temena B, C, A za svoju dužinu, tako da je AB = BA', BC = CB' i CA = AC'. Ako je površina trougla ABC jednaka P kolika je površina trougla A'B'C'?
8. Dat je paralelogram ABCD površine 10 cm2. Neka su M, N, P i Q tačke pravih AB, BC, CD i DA takve da su tačke B, C, D i A središta duži AM, BN, CP i DQ. Dokazati da je četvorougao MNPQ paralelogram i izračunati njegovu površinu.
9. Dat je konveksan četvorougao ABCD površine 1996 cm2. Neka su M, N, P i Q tačke pravih AB, BC, CD i DA takve da su tačke B, C, D i A središta duži AM, BN, CP i DQ. Izračunati površinu četvorougla MNPQ.
10. Dat je kvadrat ABCD čija je površina 100 cm2. Neka su M, N, P i Q redom središta stranica AB, BC, CD i DA. Presekom duži AP, BQ, CM i DN definisan je jedan četvorougao. Dokazati da je dobijeni četvorougao kvadrat i izračunati njegovu površinu. Šta se dešava ako je AM:MB = BN:NC = CP
D = DQ:QA = m:n ? Da li se sličan problem može definisati i ako je četvorougao ABCD paralelogram?11. Dat je kvadrat ABCD čija je površina 81 cm2. Neka su K i L, M i N, P i Q, R i S tačke koje stranice AB, BC, CD i DA dele na tri jednaka dela. Presekom duži KN, LR, MQ i PS definisan je jedan četvorougao. Dokazati da je dobijeni četvorougao kvadrat i izračunati njegovu površinu.
12. Može li se dati kvadrat podeliti na 1999 manjih i neobavezno podudarnih kvadrata?
13. Da li je moguće dati jednakostranični trougao podeliti na 1999 manjih i neobavezno podudarnih manjih jednakostraničnih trouglova?
14. Neka su P, Q, R i S redom središta stranica AB, BC, CD i DA kvadrata ABCD. Duži AR, BS, CP i DQ seku se i grade novi četvorougao KLMN. Ako je AB = 10 cm, kolika je površina četvorougla KLMN?
15. Dat je proizvoljan konveksan četvorougao ABCD. Tačke K i L su redom središta stranica AB i CD. Prave AM i KD seku se u tački M, a prave BM i KC u tački L. Dokazati da je površina četvorougla KLMN jednaka zbiru površina trouglova AND i BCL.
16. Dat je trougao ABC čija je površina 1999 cm2. Stranice AB, BC i CA produžene su preko temena B, C i A ya svoju dužinu, tako da je AB = BA1, BC = CB1 i CA = AC1. Izračunati površinu dobijenog trougla A1B1C1.
17. Dat je kvadrat S dužine stranice 20. Neka je M skup čiji su elementi 4 temena kvadrata S i 1999 proizvoljnih unutrašnjih tačaka kvadrata S. Dokazati da postoji trougao sa temenima iz skupa M čija je površina manja od 0,1.
18. Može li se dati jednakokrako-pravougli trougao podeliti na a) 10 ; b) 100 ; c) 1999 manjih neobavezno podudarnih jednakokrako pravouglih trouglova?
19. Svaka stranica pravilnog šestougla ABCDEF produžena je za svoju dužinu tako da je AB = BA', BC = CB', CD = DC', DE = ED', EF = FE', FA = AF' . Ako je površina šestougla ABCDEF jednaka P, odrediti površinu šestougla A'B'C'D'E'F'.
20. Tačke M, N i R dele stranice AB, BC i CA jednakostraničnog trougla ABC u odnosu 3:4. Prave AN, BP i CM seku se i grade trougao QRS. Ako je površina trougla ABC jednaka 1998 cm2, kolika je površina trougla QRS ?
---------------------------------------------------------------------------------------
Pitagorina teorema - Konstruktivni zadaci
1. Konstruisati kvadrat čija površina jednaka zbiru (razlici) površina dva data kvadrata.
2. Konstruisati kvadrat čija je površina jednaka zbiru površine tri data kvadrata.
3. Konstruisati jednakostranični trougao čija je površina jednaka razlici površina dva data jednakostranična trougla.
4. Dat je pravougaonik čije su stranice a i b. Konstruisati kvadrat koji ima površinu jednaku površini datog pravougaonika.
5. Konstruiši kvadrat čija je površina jednaka površini jednakostraničnog trougla stranice a.
6. Konstruiši jednakostranični trougao čija je površina jednaka površini kvadrata date stranice a.
7. Konstruisati jednakokrako-pravougli trougao čija je površina jednake zbiru površinama dva data:
a) jednakokrako- pravougla trougla ; b) kvadrata ; c) jednakostranična trougla.
8. Nad stranicama jednakostraničnog trougla stranice a konstruisani su sa spoljnje strane kvadrati i dobijena slobodna temena povezana u mnogougao. Izračunati obim i površinu tako dobijenog mnogougla.
9. Nad stranicama pravilnog šestougla stranice a konstruisani su sa spoljnje strane kvadrati i dobijena slobodna temena povezana u mnogougao. Izračunati obim i površinu tako dobijenog mnogougla.
10. Nad stranicama pravouglog trougla čije su katete a i b konstruisani su sa spoljnje strane:
a) jednakostranični trouglovi ; b) pravilni šestouglovi ; c) pravougaonici čije se stranice odnose kao 2:1. Dokazati da je površina figure nad hipotenuzom jednaka zbiru površina figura nad katetama.
11. Neka se dijagonale trapeza ABCD seku u tački S. Tada je površina trougla ASD jednaka površini trougla BSC. Dokazati.
12. Dat je konveksni četvorougao ABCD. a) Konstruisati trougao čija je površina jednaka površini datog četvorougla. b) Konstruisati pravougaonik čija je površina jednaka površini datog četvorougla.
13. Dat je konveksni četvorougao ABCD. Konstruisati pravilni šestougao čija je površina jednaka površini datog četvorougla.
14. Konstruisati kvadrat čija je površina jednaka zbiru površina konveksnog četvorougla ABCD
i konveksnog petougla MNPQR.
15. Dat je pravougaonik čije su stranice a i b. Konstruiši jednakostranični trougao čija je površina jednaka površini datog pravougaonika.
16. Nad stranicama pravouglog trougla čije su katete a i b konstruisani su sa spoljnje strane kvadrati i dobijena slobodna temena povezana u šestougao. Izračunati površinu tako dobijenog šestougla u funkciji od a i b ?