- Učlanjen(a)
- 04.10.2009
- Poruka
- 5.207
Pitagorina teorema
1. Dokazati direktnu Pitagorinu teoremu (ako je trougao sa stranicama a £ b < b2 =" c2)"> c2 ; ako je trougao tupougli, onda je a2 + b2 < c2. Važe li obrnuta tvrđenja ?
2. Dokazati obrnutu Pitagorinu teoremu: Ako su a, b i c stranice trougla i ako je a2 + b2 = c2, onda je trougao pravougli.
3. Proverite da li je trougao sa stranicama 29k, 20k i 21k pravougli.
4. Kakav je trougao (oštrougli, pravougli, tupougli) čije su stranice: a) 5, 6 i 7 cm; b) 10, 11 i 15 cm ?
5. Neka je c merni broj hipotenuze i d merni broj zbira kateta a i b pravouglog trougla. Izraziti površinu ovog trougla u funkciji od c i d.
6. U kvadratu ABCD tačka M je središte sranice AB, a N je tačka stranice AD, takve da je AN = 2× ND. Odrediti površinu i obim kvadrata ABCD ako je MN = 1 cm.
7. Stranica AB pravougaonika ABCD je 20 cm, a normalno rastojanje temena B od dijagonale AC je 12 cm. Naći obim i površinu pravougaonika.
8. Dat je pravougli trougao čije katete su 16 cm i 30 cm. Nad hipotenuzom tog trougla kao stra-nicom konstruisan je kvadrat. Izračunati odstojanje centra tog kvadrata od temena pravog ugla u pravouglom trouglu.
9. Neka je M proizvoljna tačka na hipotenuzi pravouglog trougla, a M’ i M” njene projekcije na katete trougla. Odrediti položaj tačke M za koji duž M’M” ima najmanju moguću vrednost.
10. Izračunaj površinu pravouglog trougla čija je hipotenuza 12 cm, a jedan oštar ugao je: a) 15° ; b) 22° 30’ .
11. Ako je u pravouglom trouglu jedan ugao 15° onda je hipotenuzina visina četiri puta manja od hipotenuze. Dokazati.
12. Tačka u kojoj kružnica upisana u pravougli trougao dodiruje hipotenuzu, deli hipotenuzu na dve duži čije su dužine 4 cm i 7 cm. Izračunati površinu tog pravouglog trougla.
13. Nad stranicama jednakokrako pravouglog trougla katete a sa spoljnje strane su konstruisani kvadrati. Izračunati površinu trougla koga čine centri konstruisanih kvadrata.
14. Snažna oluja polomi stablo visoko 16 m i pri tom vrh drveta padne 8 mdaleko od podnožja stabla. Na kojoj visini se polomilo stablo.
15. Posmatrač vidi objekat (duž) AB iz dve tačke C i D među kojima je rastojanje 300 m pod uglovima od 30° . Prave AD i BC su međusobno normalne. Kolika je dužina objekta AB.
16. Normale konstuisane iz temena B i D pravougaonika na dijagonalu AC, dele dijagonalu na tri jednaka dela. Ako je dužina jedne stranice pravougaonika , kolika je dužina druge stranice pravougaonika?
17. Vrt ima oblik pravougaonika sa temenima A,B,C,D. U vrtu je česma koja je od temena A udaljena 14 cm, a od temena B udaljena 4 cm i od temena C udaljena 12 cm. Koliko je česma udaljena od temena D ?
18. Oko jednakokrakog trougla , čija je osnovica 48 cm, a krak 40 cm, opisan je krug. Odrediti poluprečnik tog kruga.
19 . Unutrašnji uglovi trougla odnose se kao 2 : 3 : 7. Dužina najveće stranice trougla je 1 m. Odrediti dužine ostalih stranica trougla.
-------------------------------------------------------------------------------------
Mnogougao
1. Može li zbir unutrašnjih uglova mnogougla biti: 123456789100° ?
2. Sve stranice datog n-tougla su jednake. Da li je dati n-tougao pravilan ?
3. Svi uglovi datog n-tougla su jednaki. Da li je dati n-tougao pravilan ?
4. Dokazati da je spoljašnji ugao pravilnog mnougla jednak centralnom uglu tog mnogougla
5. Dokazati da je unutrašnji ugao pravilnog n-tougla jednak (n-2)180° /n .
6. Postoji li pravilni mnogougao čiji je unutrašnji ugao jednak: a) 144° ; b) 128° ?
7. Postoji li pravilni mnogougao čiji je spoljašnji ugao jednak: a) 18° ; b) 11° ?
8. Koliko stranica ima mnogougao koji ima 66 dijagonala ?
9. Postoji li n-tougao kod koga je: Broj dijagonala jednak broju stranica ?
10. Ako se broj stranica mnogougla poveća za 27 onda se broj dijagonala poveća za 1998. Koliko dijagonala ima taj mnogougao ?
11. Ako se broj stranica pravilnog mnogougla poveća za 3 onda se broj njegovih dijagonala poveća dva puta. Koliki je spoljašnji ugao tog mnogougla ?
12. Broj dijagonala mnogougla sa m stranica veći je od broja dijagonala mnogougla sa n stranica za 1999. Odrediti m i n.
13. Koliki je zbir unutrašnjih uglova bilo koje zvezde petokrake.
14. Postoji li konveksni petougao čije su stranice 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm i 11 cm ?
15. U konveksnom četvorouglu ABCD važi jednakost: AB + BD = CD + AC. Dokazati nejednakost: AB < AC.
16. Nad stranicama kvadrata stranice a = 10 cm sa spoljnje strane su konstruisani jednakostranični trouglovi. Odrediti obim i površinu tako dobijenog mnogougla (osmougla). Odrediti obim i površinu mnogougla čija su temena slobodna temena jednakostraničnih trouglova, tj temena koja ne pripadaju kvadratu.
17. Nad stranicama jednakostraničnog trougla stranice a = 30 cm sa spoljnje strane su konstruisani kvadrati. Slobodna temena kvadrata, tj. ona temena koja ne pripadaju trouglu međusobno su spojena. Izračunati obim i površinu tako dobijenog šestougla.
18. Izračunati obim i površinu pravilnog dvanaestougla, ako je poluprečnik kruga opisanog oko mnogougla jednak 12 cm.
---------------------------------------------------------------------------------------
Polinomi i algebarski razlomci
1. Ako je a ceo broj koji nije deljiv ni sa 2 ni sa 3 onda je broj 4a2 + 3a + 5 deljiv sa 6. Dokazati.
2. Rastaviti na činioce izraz xy(x-y) - xz(x-z) + yz(y-z) .
3. Odrediti sve cele brojeve x i y tako da je: x2 + y2 - 6x - 10y + 33 = 0.
4. Ako je n prirodan broj onda je n3 + 1997n + 1998 deljivo sa 6. Dokazati. (M – 1998.)
5. Dokazati da je zbir kvadrata pet uzastopnih prirodnih brojeva ne može biti kvadrat nijednog prirodnog broja. (R – 1998.)
6. Dokazati da je 1991×1993×1995×1997 + 16 potpun kvadrat nekog prirodnog broja. Ako je n prirodan broj, da li je (2n-3) (2n-1) (2n+1) (2n+3) + 16 takođe potpun kvadrat ? (R – 1997.)
7. Ako je n prirodan broj onda je 11n3 + n deljivo sa 6. Dokazati. (M – 1997.)
8. Dat je polinom P(x) = x3 + 2x2 – x – 2. Ako je p prost broj, onda je P(p) deljivo sa 24. Dokazati. Odrediti najmanji prost broj p takav da je P(p) deljivo sa 120. (R – 1996.)
9. Dat je polinom P = x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx. Odrediti za koje vrednosti x, y i z dati polinom nije pozitivan.
10. Neka su x, y i z realni brojevi takvi da je: (y-z)2 + (z-x)2 + (x-y)2 = (y+z-2x)2 + (z+x-2y)2 +
(x+y-2z)2. Dokazati da je x = y = z.
11. Ako je ad = bc onda je (ab + cd)2 = (a2 + c2)(b2 + c2). Dokazati.
12. Za koje vrednosti x, y i z važi jednakost: x1988 + y6 + z4 + 146 = 2x994 + 16y3 + 18z2.
13. Odrediti vrednost izraza P(x,y) = x1989 + 1989y, ako je x2 + y3 + 2x – 6y + 10 = 0.
14. Neka je x = 444...444 (11 četvorki). Dokazati da je broj x2 – x – 2 deljiv sa 270.
15. Dokazati da je zbir kubova tri uyastopna prirodna broja deljiv sa 9.
16. Izračunati zbir 19912 – 19902 + 19892 – 19882 + ... + 32 – 22 + 12 .
17. Dat je polinom P(t) = t4 – t + 0,5. Dokazati da je za svaki realan broj t P(t) ¹ 0 i P(t) > 0 .
18. Da li postoji prirodan broj n takav da je n3 – n + 2n deljiv sa 1992 ?
19. Dat je broj M = 1991 – 9119. Dokazati da je M > 0 i da je M deljivo sa 72.
20. Neka je a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1 i ac + bd = 0. Izračunati ab + cd .