Član
- Učlanjen(a)
- 19.12.2009
- Poruka
- 4.642
Srednjoškolski pristup
Za preciznije definisanje aproksimacije realnih brojeva decimalnim brojevima i decimalnog zapisa realnog broja treba nam:
Princip najmanjeg celog broja: Svaki skup celih brojeva koji je ograničen odozdo ima najmanji broj;
Arhimedova aksioma: Za svaka dva cela broja a, b od kojih je prvi pozitivan, postoji prirodan broj n, takav da je
Princip najmanjeg celog broja važi i kada donja granica nije ceo broj; ona može biti bilo koji realan broj. Arhimedov princip važi i u slučaju kada su a i b realni brojevi ( a>0).
Aproksimacija realnih brojeva
Teorema 1
Ako je x pozitivan realan broj, tada postoji jedinstven broj takav da je
Dokaz
Prema Arhimedovoj aksiomi, za b=x i a=1, postoji prirodan broj n takav da je x<n·1=n. Među svim takvim brojevima n, prema aksiomi 2, postoji najmanji. Označimo ga sa n'. Dakle važi 0<x<n' (*). Zbog toga je n'-1≤x<n'. Naime, ako bi bilo n'-1>x, onda n' ne bi bio najmanji broj koji ispunjava prethodni uslov (*). Označimo li n'-1=n0, dobijamo tvrđenje teorema. Kraj.
Decimalni zapis realnog broja
Definicija 1
Broj koji se može zapisati u obliku
ili njemu suprotan broj (negativan), zove se decimalni broj.
Definicija 2
Beskonačan niz celih brojeva n0,d1,d2,... koji određuje broj x zapisuje se u obliku x = n0,d1d2..., i zove se decimalni zapis broja x.
Zadatak
Predstaviti u obliku razlomka periodični decimalni broj
(a) 0,555...;
(b) 0,272727...;
(v) 3,272727....
Rešenje (a) Stavimo h=0,555...; pomnožimo jednakost sa 10; dobili smo 10h=5,555...; to pišemo 10h=5+h; rešavamo po h, 9h=5; rezultat:
(b) Stavimo h=0,272727...; pomnožimo jednakost sa 100; dobijamo 100h=27,272727..., tj. 100h=27+h; rešavamo jednačinu po h, dobijamo 99h=27; rezultat je
(v) Stavimo u=3+h, gde h=0,272727...; već smo dobili (b) sabirak h, pa u=3+27/99, tj.
Bio je to postupak kojim se svaki periodični decimalni broj može prevesti u razlomak sa celobrojnim brojnikom i nazivnikom. Međutim, znamo da je skup svih razlomaka beskonačan, prebrojiv, alef nula. Znamo da je skup realnih brojeva beskonačan, neprebrojiv, kontinuum. Prema tome je skup svih neperiodičnih decimalnih brojeva kontinuum.
Uređeno polje realnih brojeva
Definicija 4
Za skup kažemo da je ograničen odozgo ako postoji bar jedan realan broj M, takav da je, za svaki Broj M se u tom slučaju zove majoranta skupa S, ili gornja međa skupa S.
Na primer skup ima majorantu broj 1, ali je i svaki drugi realan broj koji je veći od 1 takođe majoranta ovog skupa. Skup S=\{2,4,6,...,2n,...\} nema majorantu, jer prema Arhimedovoj aksiomi za bilo koji postoji prirodan broj n takav da je . Skup nepozitivnih realnih brojeva ima najmanju majorantu nulu.
Definicija 5
Ako postoji realan broj s, takav da je on najmanja majoranta skupa S, tj. ako iz sledi da postoji bar jedan elemenat takav da je r < x, onda se s naziva supremumom skupa S, ili tačnom donjom međom skupa S. Supremum skupa S označavamo sup S.
Jedan skup ne može imati dva supremuma, npr. s1,s2, jer bi tada po definiciji (5) bilo što zbog antisimetričnosti relacije manje-jednako povlači s1 = s2.
Definicija 6
Neka su u skupu definisani sabiranje + i množenje ·, binarna relacija ≤ i neka za sve x,y,z,... iz R važe uslovi:
(R1)
(R2)
(R3)
(R4)
(R5)
(R6)
(R7)
(R8)
(R9)
(R10)
(R11)
(R12)
(R13)
(R14)
i najzad, najvažnije
(CR) svaki odozgo ograničen neprazan skup u ima supremum u
CR zapravo ostvara realne brojeve, jer svi ostali aksiomi mogli bi se uzeti i za opis racionalnih brojeva, dok onaj zadnji ne bi.
Tada uređenu četvorku (R, +, ·, ≤) zovemo uređeno kompletno polje ili polje realnih brojeva. Često ga označavamo samo sa R. Uslovi (R1)-(R15) zovu se aksiomi realnih brojeva. Iz teorije grupa i iz prethodne definicije, vidi se da u polju R postoje jednistvena nula (R2) i jedinstvena jedinica (R7), da svaki elemenat h skupa R, osim nule, ima (R3) jedinstven suprotni elemenat -h, i da svaki ima (R8) jedinstven inverzni elemenat
Operacije sabiranja i množenja indukuju algebarsku strukturu u skupu R realnih brojeva, a relacija uređenja indukuje u R strukturu talnog uređenja.
Aksiome 1-9 odnose se na algebarsku strukturu skupa realnih brojeva, a aksiome 10-12 na njegovu strukturu poretka. Aksiome 13-14 povezuju te dve strukture na skupu realnih brojeva, tj. pokazuju da je relacija poretka "≤ " u saglasnosti sa sabiranjem i množenjem u R. Zovu se redom monotonija sabiranja i množenja.
Aksioma R15 izražava važnu osobinu skupa realnih brojeva koju zovemo kompletnost skupa R. Postoji više ekvivalentnih oblika tog aksioma.
Za preciznije definisanje aproksimacije realnih brojeva decimalnim brojevima i decimalnog zapisa realnog broja treba nam:
Princip najmanjeg celog broja: Svaki skup celih brojeva koji je ograničen odozdo ima najmanji broj;
Arhimedova aksioma: Za svaka dva cela broja a, b od kojih je prvi pozitivan, postoji prirodan broj n, takav da je
Princip najmanjeg celog broja važi i kada donja granica nije ceo broj; ona može biti bilo koji realan broj. Arhimedov princip važi i u slučaju kada su a i b realni brojevi ( a>0).
Aproksimacija realnih brojeva
Teorema 1
Ako je x pozitivan realan broj, tada postoji jedinstven broj takav da je
Dokaz
Prema Arhimedovoj aksiomi, za b=x i a=1, postoji prirodan broj n takav da je x<n·1=n. Među svim takvim brojevima n, prema aksiomi 2, postoji najmanji. Označimo ga sa n'. Dakle važi 0<x<n' (*). Zbog toga je n'-1≤x<n'. Naime, ako bi bilo n'-1>x, onda n' ne bi bio najmanji broj koji ispunjava prethodni uslov (*). Označimo li n'-1=n0, dobijamo tvrđenje teorema. Kraj.
Decimalni zapis realnog broja
Definicija 1
Broj koji se može zapisati u obliku
ili njemu suprotan broj (negativan), zove se decimalni broj.
Definicija 2
Beskonačan niz celih brojeva n0,d1,d2,... koji određuje broj x zapisuje se u obliku x = n0,d1d2..., i zove se decimalni zapis broja x.
Zadatak
Predstaviti u obliku razlomka periodični decimalni broj
(a) 0,555...;
(b) 0,272727...;
(v) 3,272727....
Rešenje (a) Stavimo h=0,555...; pomnožimo jednakost sa 10; dobili smo 10h=5,555...; to pišemo 10h=5+h; rešavamo po h, 9h=5; rezultat:
(b) Stavimo h=0,272727...; pomnožimo jednakost sa 100; dobijamo 100h=27,272727..., tj. 100h=27+h; rešavamo jednačinu po h, dobijamo 99h=27; rezultat je
(v) Stavimo u=3+h, gde h=0,272727...; već smo dobili (b) sabirak h, pa u=3+27/99, tj.
Bio je to postupak kojim se svaki periodični decimalni broj može prevesti u razlomak sa celobrojnim brojnikom i nazivnikom. Međutim, znamo da je skup svih razlomaka beskonačan, prebrojiv, alef nula. Znamo da je skup realnih brojeva beskonačan, neprebrojiv, kontinuum. Prema tome je skup svih neperiodičnih decimalnih brojeva kontinuum.
Uređeno polje realnih brojeva
Definicija 4
Za skup kažemo da je ograničen odozgo ako postoji bar jedan realan broj M, takav da je, za svaki Broj M se u tom slučaju zove majoranta skupa S, ili gornja međa skupa S.
Na primer skup ima majorantu broj 1, ali je i svaki drugi realan broj koji je veći od 1 takođe majoranta ovog skupa. Skup S=\{2,4,6,...,2n,...\} nema majorantu, jer prema Arhimedovoj aksiomi za bilo koji postoji prirodan broj n takav da je . Skup nepozitivnih realnih brojeva ima najmanju majorantu nulu.
Definicija 5
Ako postoji realan broj s, takav da je on najmanja majoranta skupa S, tj. ako iz sledi da postoji bar jedan elemenat takav da je r < x, onda se s naziva supremumom skupa S, ili tačnom donjom međom skupa S. Supremum skupa S označavamo sup S.
Jedan skup ne može imati dva supremuma, npr. s1,s2, jer bi tada po definiciji (5) bilo što zbog antisimetričnosti relacije manje-jednako povlači s1 = s2.
Definicija 6
Neka su u skupu definisani sabiranje + i množenje ·, binarna relacija ≤ i neka za sve x,y,z,... iz R važe uslovi:
(R1)
(R2)
(R3)
(R4)
(R5)
(R6)
(R7)
(R8)
(R9)
(R10)
(R11)
(R12)
(R13)
(R14)
i najzad, najvažnije
(CR) svaki odozgo ograničen neprazan skup u ima supremum u
CR zapravo ostvara realne brojeve, jer svi ostali aksiomi mogli bi se uzeti i za opis racionalnih brojeva, dok onaj zadnji ne bi.
Tada uređenu četvorku (R, +, ·, ≤) zovemo uređeno kompletno polje ili polje realnih brojeva. Često ga označavamo samo sa R. Uslovi (R1)-(R15) zovu se aksiomi realnih brojeva. Iz teorije grupa i iz prethodne definicije, vidi se da u polju R postoje jednistvena nula (R2) i jedinstvena jedinica (R7), da svaki elemenat h skupa R, osim nule, ima (R3) jedinstven suprotni elemenat -h, i da svaki ima (R8) jedinstven inverzni elemenat
Operacije sabiranja i množenja indukuju algebarsku strukturu u skupu R realnih brojeva, a relacija uređenja indukuje u R strukturu talnog uređenja.
Aksiome 1-9 odnose se na algebarsku strukturu skupa realnih brojeva, a aksiome 10-12 na njegovu strukturu poretka. Aksiome 13-14 povezuju te dve strukture na skupu realnih brojeva, tj. pokazuju da je relacija poretka "≤ " u saglasnosti sa sabiranjem i množenjem u R. Zovu se redom monotonija sabiranja i množenja.
Aksioma R15 izražava važnu osobinu skupa realnih brojeva koju zovemo kompletnost skupa R. Postoji više ekvivalentnih oblika tog aksioma.