Pitagorina teorema

PRIMJENA PITAGORINE TEOREME NA JEDNAKOKRAKI TROUGAO

Jednakokraki trougao je trougao sa jednakim kracima. Kada se povuce visina iz tjemena C dobiju se dva pravougla trougla.
P=(ah_a)/2
P=(bh_b)/2
O=a+2b



Pitagorina teorema za trougao ACD:
b^2=(a/2)^2+h^2

a odavde se dobija visina ha :
h_a=[b^2-(a)3 2/4]^1/2

PRIMJENA PITAGORINE TEOREME NA JEDNAKOSTRANICNI TROUGAO


Jednakostranicni trougao je trougao sa jednakim stranicama uglovima.


Iz Pitagorine teoreme za trougao ACD dobija se visine trougla:
P=[(a^2)*(3^1/3)]/3
O=3a
R=2h/3
r=h/3

Istorijat

Egipatska matematika

Trazi se kolika je neka nepoznata gomila, tj. mnozina, kad njena sedmina i ona sama daju zajedno 19. Mi bi pisali jednacinu

Ahmes ima tacan rezultat, samo sto umesto 16 i 5/8 pise 16 i 1/2 i 1/8. Postoji u samom njihovom skracenom izrazavanju vec i nekakva matematicka simbolika u zacecu. Tako se sabiranje oznacava nogama koje koracaju (,,idu napred’’), jednakost znakom ≤, nepoznata zina posebnim znakom kojim se oznacava rijec za gomilu.
Predjimo na geometriju. Po jednom navodu, poznati grcki filozof Demokrit (oko 420. godine pne) je rekao: ,,U konstruisanju linija pri iznosenju dokaza nije me niko prestigao, cak ni takozvani harpedonapti Egipta’’. Prema tim rijecima Demokrit bi samouvjereno tvrdio da je u geometriji u kojoj se iznose dokazi i pri tome konstruisu linije (dakle pre svega prave i krugovi) vjestiji od grckih geometara onog vremena, pa ,,cak iod harpedonapta Egipta’’. Odatle bi trebalo zakljuciti, medju ostalim, da je u ono doba postajalo misljenje u Grckoj da su izvjesni ljudi u Egiptu znali geometriju kao nauku u kojoj se izvode konstrukcije i dokazi bolje i od samih Grka koje smatramo tvorcima te nauke. Ti ljudi u Egiptu se zovu harpedonapti, sto znaci ,,zatezaci uzeta’’, tj. ljudi koji zatezu uze, naravno u svrhu mjerenja. Dakle, to su geometri.
Uze mozemo, uopste, smatrati najstarijim instrumentom za mjerenje (hijeroglif broja 100). U starim semitskim jezicima ta veza izmedju geometrije i uzeta je ocigledna. Na starim reljefima vidi se svecan cin polaganja temelja hrama koji se sastoji u tome sto se po zabijanju prvog koca u zemlju vizira zvijezda Sjevernjaca i, u pravcu te zvijezde, zategne mjerno uze koje ce obiljeziti jedan od cetiri glavna zida. Po misljenju Kantora, jednog odznacajnih matematicara i istoricara matematike s kraja proslog i pocetka ovog vijeka, posaozatezaca uzeta, a to cinjase pri polaganju temelja hrama faraona, nije samo zatezanje u jednom pravcu, nego obiljezavanje i pravca ka istoku, upravnogokomitog na pravac ka sjeveru. Po pretpostavci Kantora to se radilo na osnovu tzv. Pitagorina stava o pravouglom trouglu na sljedeci nacin. Na mjernom konopcu (uzetu) obiljezena su cvorovima redom rastojanja koja se medju sobom odnose kao brojevi 3, 4 i 5.
Drzeci srednju duz zategnutu u pravcusevera i spojivsi krajeve konopa, dobijamo pravougli trougao, dakle, i pravac okomit na pravac ka sjeveru, tj. jos jedan od cetiri glavna zida.

Postupak se zasniva na osobini brojeva 3, 4, i 5 da tri duzi kojima su velicine srazmjerne tim brojevima mogu sastaviti pravougli trougao. Po Pitagorinoj teoremi treba da je za tri strane a, b, c pravouglog trougla vazi
c^2=a^2+b^2 tj za brojeve 3, 4, 5, vazi 3^2+ 4^2 =5^2.
Zaista, starim Egipcanima je bilo poznato Pitagorino pravilo, sto se tice brojeva kao sto su 3,4,5. Vjerovatno da se nisu udaljavali od cijelih brojeva.
Navedene cijele, prirodne brojeve, nazivamo pitogorejskim brojevima.
Iz elementarne teorije brojeva znamo kako mozemo doci do takvih brojeva, koliko ih god hocemo. Stavimo

(a^2 + b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2+b^4, (a^2-b^2^)2 = a^4- 2a^2b^2+b^4
Odnosno
(a^2+b^2)^2-(a^2-b^2)^2 =4a^2b^2=(2ab)^2
(a^2-b^2)^2 +(2ab)^2=(a2+b^^ 2)^2
Za a=1 i b=2 je
3^2+4^2=5^2.
Takvim brojevima, bar prvim 3, 4, 5, Egipcani su poklanjali posebnu paznju.
U osobini da ti cijeli brojevi grade pravougli rougao, gledali su neku tajanstvenu harmoniju i zato su, valjda, voleli da u hramovima i piramidama grade odaje tako da se tri njihove dimenzije: visina, sirina i duzina odnose kao ti brojevi.
U Rajndovu papirusu nalazimo i obrazac za povrsinu kruga (okruglog polja). Ako r oznacava poluprecnik, povrsina kruga je P = πr^2 ili, ako je d precnik P=d^2π/4

Obrazac je poznat u papirusu, samo sto nisu poznavali tacnu vrijednost broja π koji ima beskonacno mnogo decimala (tako da ga ni mi ne poznajemo niti mozemo poznavati do kraja, nego samo na onoliko decimala koliko zazelimo da izracunamo). Egipcani nisu pozbavali iracionalne brojeve . zato su za π/4 eali pribliznu vrijednost koju su oznacili grckim slovom ϰ
ϰ=64/81=8^2/9^2=0,79012; P=ϰd^2
π/4=0,78539
ϰ-π/4=0,0047

Egipcani su imali tacnu formulu za racunanje zapremine zarubljene piramide (pravilna cetverostrana zarubljena piranida)
Ako je velicina stranice na donjoj osnovici a, na gornjoj osnovici b, a visina zarubljene piramide h oznacimo visinu cijele piramide sa h+ x tako da je x visina one piramide koju treba otsjeci da bi se dobila zarubljena. Zapremina velike i te male piramide je:

Do tog istog obrasca dosli su Egipcani. Mogli su i geometrijskim putem razlazuci zarubljenu piramidu na dijelove na piramide i tetraedre (dakle opet piramide), cije su zapremine morali znati
(svakako, pod pretpostavkom da su znali cinjenicu da sve piramide koje imaju jednake osnovice i jednake visine imaju i jednake zapremine). Kako god uzeli, Egipcani su znaliza izvodjenje, dokazivanje matematickih stavova. Znali su, svakako, za jednostavna logicka izvodjenja, vjerovatno i za metodu geometrijske konstrukcije u svrhu dokaza.
Napomenimo da, na primjer, za povrsinu ,,korpe’’ ne stoji u moskovskom papirusu 2κd2 nego, ako to sto tamo stoji izrazimo svojim matematickim znacima, pise

Izdracunaj P i O pravouglog trougla cija je kateta 6 cm, a druga stranica je za 1 cm kraca od hipotenuze.

a=6,a b=c-1
c^2=a^2+b^2
c^2=6^2+(c-1)^2
c^2=36+c^2-2c+1 sad skrati c^2 i dobijas
2c=37
c=37/2

P=ab/2
P=6*b/2
P=3b a b nam je 37/2-1 b=35/2
P=3*35/2
P=52.5
A obim je jednak a+b+c=O
6+35/2+37/2=42